Поиск постороннего решения при двух различных знаменателях: карточки с ответами, 8 класс

8 класс · Рациональные выражения · MATH-1448. Лист для печати: две самостоятельные карточки по поиску посторонних решений уравнения с разными линейными знаменателями. Каждую строку решайте одинаково: ОДЗ → общий знаменатель → кандидаты → проверка исходной записи. Умножение на выражение с переменной без ОДЗ недопустимо.

Памятка на полстраницы

Для уравнения (x − 4)/((x − 1)) = (x − 4)/((x − 5)) общий знаменатель равен (x − 1)(x − 5). После умножения обеих частей получается (x − 4)(x − 5) = (x − 4)(x − 1), то есть −4(x − 4) = 0. Кандидат x = 4 не запрещён и действительно является решением. Если бы в знаменателе стоял множитель (x − 4), тот же корень оказался бы посторонним. Общий знаменатель при этом не «прощает» исходное деление на ноль.

Вариант А. Найдите корни и ловушки (1–8)

1. (x − 4)/((x − 1)) = (x − 4)/((x − 5)). Сколько корней допустимо? Какие отбрасываются?
2. (x − 2)/((x − 2)) = (x − 2)/((x − 7)). Сколько корней допустимо? Какие отбрасываются?
3. (x)/((x + 3)) = (x)/((x − 3)). Сколько корней допустимо? Какие отбрасываются?
4. (x − 4)/(x) = (x − 4)/((x − 4)). Сколько корней допустимо? Какие отбрасываются?
5. (x − 6)/((x − 1)) = 2(x − 6)/((x − 8)). Сколько корней допустимо? Какие отбрасываются?
6. (x − 3)/((x − 3)) = 2(x − 3)/((x − 9)). Сколько корней допустимо? Какие отбрасываются?
7. (x − 2)/((x + 2)) = 2(x − 2)/((x − 4)). Сколько корней допустимо? Какие отбрасываются?
8. (x + 4)/((x + 4)) = 2(x + 4)/((x − 2)). Сколько корней допустимо? Какие отбрасываются?

Вариант Б. Проверьте равенство другим способом (9–16)

9. (x − 8)/((x − 5)) = (x − 8)/((x − 11)). Сколько корней допустимо? Какие отбрасываются?
10. (x − 7)/((x − 1)) = (x − 7)/((x − 7)). Сколько корней допустимо? Какие отбрасываются?
11. (x + 3)/((x + 6)) = (x + 3)/(x). Сколько корней допустимо? Какие отбрасываются?
12. (x − 2)/((x − 2)) = (x − 2)/((x − 10)). Сколько корней допустимо? Какие отбрасываются?
13. (x − 3)/((x + 3)) = 2(x − 3)/((x − 9)). Сколько корней допустимо? Какие отбрасываются?
14. (x − 6)/(x) = 2(x − 6)/((x − 6)). Сколько корней допустимо? Какие отбрасываются?
15. (x + 1)/((x + 5)) = 2(x + 1)/((x − 3)). Сколько корней допустимо? Какие отбрасываются?
16. (x − 10)/((x − 4)) = 2(x − 10)/((x − 12)). Сколько корней допустимо? Какие отбрасываются?

Подробный ключ для учителя

Вариант А

1. ОДЗ: x ≠ 1, 5. После умножения на (x − 1)(x − 5) числитель: (x − 4)·(−4) = 0. Кандидаты: x = 4; ответ: x = 4. Запрещённые кандидаты отброшены.
2. ОДЗ: x ≠ 2, 7. После умножения на (x − 2)(x − 7) числитель: (x − 2)·(−5) = 0. Кандидаты: x = 2; ответ: нет допустимых решений. Запрещённые кандидаты отброшены.
3. ОДЗ: x ≠ -3, 3. После умножения на (x + 3)(x − 3) числитель: x·(−6) = 0. Кандидаты: x = 0; ответ: x = 0. Запрещённые кандидаты отброшены.
4. ОДЗ: x ≠ 0, 4. После умножения на x(x − 4) числитель: (x − 4)·(−4) = 0. Кандидаты: x = 4; ответ: нет допустимых решений. Запрещённые кандидаты отброшены.
5. ОДЗ: x ≠ 1, 8. После умножения на (x − 1)(x − 8) числитель: (x − 6)·(−x − 6) = 0. Кандидаты: x = -6, x = 6; ответ: x = -6, x = 6. Запрещённые кандидаты отброшены.
6. ОДЗ: x ≠ 3, 9. После умножения на (x − 3)(x − 9) числитель: (x − 3)·(−x − 3) = 0. Кандидаты: x = -3, x = 3; ответ: x = -3. Запрещённые кандидаты отброшены.
7. ОДЗ: x ≠ -2, 4. После умножения на (x + 2)(x − 4) числитель: (x − 2)·(−x − 8) = 0. Кандидаты: x = -8, x = 2; ответ: x = -8, x = 2. Запрещённые кандидаты отброшены.
8. ОДЗ: x ≠ -4, 2. После умножения на (x + 4)(x − 2) числитель: (x + 4)·(−x − 10) = 0. Кандидаты: x = -10, x = -4; ответ: x = -10. Запрещённые кандидаты отброшены.

Вариант Б

9. ОДЗ: x ≠ 5, 11. После умножения на (x − 5)(x − 11) числитель: (x − 8)·(−6) = 0. Кандидаты: x = 8; ответ: x = 8. Запрещённые кандидаты отброшены.
10. ОДЗ: x ≠ 1, 7. После умножения на (x − 1)(x − 7) числитель: (x − 7)·(−6) = 0. Кандидаты: x = 7; ответ: нет допустимых решений. Запрещённые кандидаты отброшены.
11. ОДЗ: x ≠ -6, 0. После умножения на (x + 6)x числитель: (x + 3)·(−6) = 0. Кандидаты: x = -3; ответ: x = -3. Запрещённые кандидаты отброшены.
12. ОДЗ: x ≠ 2, 10. После умножения на (x − 2)(x − 10) числитель: (x − 2)·(−8) = 0. Кандидаты: x = 2; ответ: нет допустимых решений. Запрещённые кандидаты отброшены.
13. ОДЗ: x ≠ -3, 9. После умножения на (x + 3)(x − 9) числитель: (x − 3)·(−x − 15) = 0. Кандидаты: x = -15, x = 3; ответ: x = -15, x = 3. Запрещённые кандидаты отброшены.
14. ОДЗ: x ≠ 0, 6. После умножения на x(x − 6) числитель: (x − 6)·(−x − 6) = 0. Кандидаты: x = -6, x = 6; ответ: x = -6. Запрещённые кандидаты отброшены.
15. ОДЗ: x ≠ -5, 3. После умножения на (x + 5)(x − 3) числитель: (x + 1)·(−x − 13) = 0. Кандидаты: x = -13, x = -1; ответ: x = -13, x = -1. Запрещённые кандидаты отброшены.
16. ОДЗ: x ≠ 4, 12. После умножения на (x − 4)(x − 12) числитель: (x − 10)·(−x − 4) = 0. Кандидаты: x = -4, x = 10; ответ: x = -4, x = 10. Запрещённые кандидаты отброшены.

Проверка через возвращение к исходным дробям обязательна даже тогда, когда при умножении знаменатели формально исчезли. Отмечайте отдельно случаи, где у нового числителя два корня, но один из них не принадлежит ОДЗ. Не стоит заменять весь разбор фразой «делим на x − r»: такое деление может уничтожить законный корень x = r.

Оценивание: 1 балл за исключённые значения, 1 за корректное приведение к общему знаменателю, 1 за кандидатов и 1 за окончательный ответ с проверкой. Всего 64 балла на 16 примеров. На взаимопроверке учащиеся должны не просто сверить цифры, но объяснить, почему один из найденных корней иногда отвергается.

Образец проверки неочевидного второго кандидата

Рассмотрим (x − 1)/((x − 1)) = 2(x − 1)/((x − 5)). ОДЗ: x ≠ 1 и x ≠ 5. После приведения к знаменателю (x − 1)(x − 5) возникает уравнение (x − 1)[(x − 5) − 2(x − 1)] = 0, то есть (x − 1)(−x − 3) = 0. Кандидаты — 1 и −3. Первый запрещён, второй разрешён. При x = −3 слева (−4)/(−4) = 1, справа 2·(−4)/(−8) = 1; проверка удалась. Этот пример показывает, почему нельзя ограничиваться общим правилом «корень числителя — ответ».

Обязательно различайте кандидата и решение исходного уравнения. Если найденное значение обращает знаменатель в ноль, в исходном выражении нет числа, которое можно было бы сравнить с правой частью. Отметка «посторонний корень» нужна не для формального оформления: она фиксирует нарушение области определения. Если после проверки остаются два допустимых числа, оба следует вписать в ответ, предварительно убедившись, что они действительно обращают разность дробей в ноль.