Поиск постороннего решения с квадратным трёхчленом в знаменателе — диагностика ошибок, 8 класс

8 класс · Рациональные выражения · MATH-1449. Исследовательская карточка с диагностикой ошибок: квадратный трёхчлен в знаменателе может обратиться в ноль в двух точках. Поэтому любое равенство нулю сначала проверяют по разложению знаменателя, а затем по исходной записи.

Задача-наблюдение: почему нельзя оставить оба корня числителя?

Ученик решал (x² − 9)/(x² − 5x + 6) = 0 и записал x = −3, 3. В знаменателе x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). При x = 3 исходная дробь не имеет смысла, поэтому правильный ответ только x = −3. Сокращение (x − 3) в промежуточном выражении не возвращает запрещённую точку в ОДЗ.

Вывод для самостоятельной формулировки: нули числителя становятся решениями рационального уравнения только после исключения всех корней знаменателя. Если квадратный трёхчлен раскладывается на два линейных множителя, ОДЗ может содержать два исключения; если повторный корень — одно. Даже при отсутствии целых корней знаменателя ограничение нужно обосновать, а не просто забыть.

Контрпример к ошибочному правилу

Неверно: «Если числитель равен нулю, дробь равна нулю при любом x». Контрпример (x − 4)/(x² − 8x + 16): формально числитель обнуляется при x = 4, но знаменатель равен (x − 4)² и тоже обнуляется. Следовательно, уравнение не имеет решений. Сравните с (x − 4)/(x² − 9) = 0, где x = 4 разрешён и потому является решением.

Диагностика: 13 заданий с новыми квадратными трёхчленами

1. Решите (x² − x − 6)/(x² − 8x + 15) = 0. Найдите ошибку в ответе «все нули числителя подходят», если она есть.
2. Решите (x² − 4x)/(x² − 7x) = 0. Найдите ошибку в ответе «все нули числителя подходят», если она есть.
3. Решите (x² − 3x − 18)/(x² − 7x + 6) = 0. Найдите ошибку в ответе «все нули числителя подходят», если она есть.
4. Решите (x² − 10x + 16)/(x² − 13x + 36) = 0. Найдите ошибку в ответе «все нули числителя подходят», если она есть.
5. Решите (x² + 6x + 5)/(x² − x − 2) = 0. Найдите ошибку в ответе «все нули числителя подходят», если она есть.
6. Решите (x² − 8x + 7)/(x² − 10x + 21) = 0. Найдите ошибку в ответе «все нули числителя подходят», если она есть.
7. Решите (x² − 7x + 10)/(x² − 7x + 10) = 0. Найдите ошибку в ответе «все нули числителя подходят», если она есть.
8. Решите (x² + 4x)/(x² + 6x) = 0. Найдите ошибку в ответе «все нули числителя подходят», если она есть.
9. Решите (x² − 3x − 4)/(x² + x − 6) = 0. Найдите ошибку в ответе «все нули числителя подходят», если она есть.
10. Решите (x² − 9x + 18)/(x² − 9x + 8) = 0. Найдите ошибку в ответе «все нули числителя подходят», если она есть.
11. Решите (x² − 3x − 10)/(x² − 7x − 18) = 0. Найдите ошибку в ответе «все нули числителя подходят», если она есть.
12. Решите (x² − 8x)/(x² − 12x + 32) = 0. Найдите ошибку в ответе «все нули числителя подходят», если она есть.
13. Решите (x² + 3x − 18)/(x² + x − 30) = 0. Найдите ошибку в ответе «все нули числителя подходят», если она есть.

Решения и объяснения к спорным ответам

1. Знаменатель раскладывается на (x − 3)(x − 5), ОДЗ: x ≠ 3, x ≠ 5. Кандидаты: x = -2, x = 3; допустимые: x = -2. Ошибка — оставлен корень знаменателя.
2. Знаменатель раскладывается на x(x − 7), ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ 7. Кандидаты: x = 0, x = 4; допустимые: x = 4. Ошибка — оставлен корень знаменателя.
3. Знаменатель раскладывается на (x − 1)(x − 6), ОДЗ: x ≠ 1, x ≠ 6. Кандидаты: x = -3, x = 6; допустимые: x = -3. Ошибка — оставлен корень знаменателя.
4. Знаменатель раскладывается на (x − 4)(x − 9), ОДЗ: x ≠ 4, x ≠ 9. Кандидаты: x = 2, x = 8; допустимые: x = 2, x = 8. Оба корня числителя допустимы.
5. Знаменатель раскладывается на (x + 1)(x − 2), ОДЗ: x ≠ -1, x ≠ 2. Кандидаты: x = -5, x = -1; допустимые: x = -5. Ошибка — оставлен корень знаменателя.
6. Знаменатель раскладывается на (x − 3)(x − 7), ОДЗ: x ≠ 3, x ≠ 7. Кандидаты: x = 1, x = 7; допустимые: x = 1. Ошибка — оставлен корень знаменателя.
7. Знаменатель раскладывается на (x − 2)(x − 5), ОДЗ: x ≠ 2, x ≠ 5. Кандидаты: x = 2, x = 5; допустимые: нет допустимых решений. Ошибка — оставлен корень знаменателя.
8. Знаменатель раскладывается на (x + 6)x, ОДЗ: x ≠ -6, x ≠ 0. Кандидаты: x = -4, x = 0; допустимые: x = -4. Ошибка — оставлен корень знаменателя.
9. Знаменатель раскладывается на (x + 3)(x − 2), ОДЗ: x ≠ -3, x ≠ 2. Кандидаты: x = -1, x = 4; допустимые: x = -1, x = 4. Оба корня числителя допустимы.
10. Знаменатель раскладывается на (x − 1)(x − 8), ОДЗ: x ≠ 1, x ≠ 8. Кандидаты: x = 3, x = 6; допустимые: x = 3, x = 6. Оба корня числителя допустимы.
11. Знаменатель раскладывается на (x + 2)(x − 9), ОДЗ: x ≠ -2, x ≠ 9. Кандидаты: x = -2, x = 5; допустимые: x = 5. Ошибка — оставлен корень знаменателя.
12. Знаменатель раскладывается на (x − 4)(x − 8), ОДЗ: x ≠ 4, x ≠ 8. Кандидаты: x = 0, x = 8; допустимые: x = 0. Ошибка — оставлен корень знаменателя.
13. Знаменатель раскладывается на (x + 6)(x − 5), ОДЗ: x ≠ -6, x ≠ 5. Кандидаты: x = -6, x = 3; допустимые: x = 3. Ошибка — оставлен корень знаменателя.

Проверка правила на особых случаях

В задании №7 числитель и знаменатель имеют одинаковые корни. Алгебраическое сокращение может превратить выражение в 1, но исходная область определения по-прежнему не включает корни исходного знаменателя; нулей у дроби нет. В задании №8 один корень числителя совпадает с одним из корней знаменателя, а другой может остаться допустимым. Эти ситуации нельзя различить по одному только числителю, поэтому инструкция «приравнять числитель к нулю» без ОДЗ неполна.

Исследовательский вывод: посторонний корень появляется не потому, что умножение многочленов неверно, а потому, что при переходе от дроби к уравнению для её числителя может потеряться условие ненулевого знаменателя. Сама факторизация не изменяет множество корней многочлена; ошибку создаёт игнорирование ограничений исходной дроби.

Для оценки рассуждения попросите рядом с каждым ответом записать один из двух аргументов: «кандидат запрещён, поскольку знаменатель равен 0» либо «кандидат разрешён, поскольку ни один множитель знаменателя не равен 0». Это полная логическая проверка; отсутствие аргумента оставляет решение необоснованным.

Что меняется, если квадратный трёхчлен устроен иначе?

Если x² − 10x + 25 = (x − 5)², знаменатель имеет один различный корень 5, а не два разных запрещённых значения. Например, уравнение (x − 5)(x + 2)/(x² − 10x + 25) = 0 допускает кандидатов 5 и −2. После проверки остаётся только x = −2. Сокращение одного множителя (x − 5) не даёт права подставить 5: в исходной дроби деление на ноль всё ещё не определено.

Есть и противоположный случай: знаменатель x² + 1 при любых действительных x строго положителен, поэтому действительных запрещённых значений вообще нет. Для (x − 2)(x − 7)/(x² + 1) = 0 можно оставить оба корня x = 2 и x = 7. Но прежде чем писать «запретов нет», нужно объяснить, почему x² + 1 никогда не равно нулю: квадрат неотрицателен, следовательно, сумма с единицей положительна.

Быстрая факторизация квадратного трёхчлена x² + px + q основана на поиске чисел a и b с суммой a+b = −p и произведением ab = q, когда раскладываем на (x − a)(x − b). Например, для x² − 7x + 12 подходят 3 и 4, поскольку 3+4=7 и 3·4=12. Если подбор целых корней не удаётся, можно применить дискриминант: D = p² − 4q. При отрицательном D действительных корней нет, при нулевом один повторный, при положительном два разных. Ограничения ОДЗ зависят от действительных корней знаменателя, а не от количества членов многочлена.

После решения полезно сделать две независимые проверки: вычислить значения знаменателя в каждом предложенном корне и подставить разрешённые значения в числитель. На запретной точке первая проверка сразу завершает рассуждение; для разрешённой точки вторая должна дать ноль. Такой порядок устраняет распространённую путаницу между нулём дроби и её неопределённостью.