Поиск потерь решений при синусе двойного аргумента: диагностика ошибок, 10 класс

Математика, 10 класс. Потеря корней при раскрытии sin(2x).

Цель: находить все решения тригонометрического уравнения, обнаруживать незаконное деление на sin x или cos x и доказывать полноту ответа. Углы указаны в радианах; во всех общих ответах k ∈ ℤ.

Подозрительное утверждение: «если сократили, уравнение стало проще и корней не потеряли»

Рассмотрим sin(2x) = sin x. После формулы sin(2x) = 2 sin x cos x иногда делят обе части на sin x и получают cos x = 1/2. Но деление на sin x исключает все точки, где sin x = 0, хотя они удовлетворяют исходному уравнению. Правильный переход: sin x(2cos x − 1) = 0, откуда x = πk либо x = ±π/3 + 2πk. Подстановка x = 0 немедленно разоблачает неполное решение.

Почему разложение на множители сохраняет ответ

Если произведение A(x)B(x) = 0, то равенство верно при A(x) = 0 или B(x) = 0. Деление на A(x) законно только после отдельной проверки A(x) = 0. Это относится не только к sin x: отменять cos x, sin(2x) и разности тригонометрических функций столь же рискованно. Дополнительно проверяйте область определения, особенно если встречается тангенс.

Диагностика: где именно пропущена ветвь?

В заданиях ниже нужно не просто записать общий ответ, но и назвать ошибочный шаг либо доказать, что потеря отсутствует. Перед всеми решениями запишите исходное выражение произведением, когда это возможно. Значения sin x и cos x всегда лежат в отрезке [−1; 1].

1. Ученик делит sin(2x) = sin x на sin x и оставляет cos x = 1/2. Исправьте полный ответ.
2. В уравнении sin(2x) = −sin x ученик оставил только cos x = −1/2. Какие корни пропущены?
3. При решении sin(2x) = 0 через 2sin x cos x = 0 оставили только sin x = 0. Найдите все решения.
4. Уравнение sin(2x) = 2cos x сократили на cos x. Какие решения исчезли?
5. Решите sin(2x) + cos x = 0, не деля на косинус.
6. Укажите причину, по которой деление уравнения sin(2x) = 2sin x на sin x неэквивалентно.
7. Решите sin(2x) + sin x = 0, выделив обе ветви.
8. Проверьте ответ «x = πk» для sin(2x) = 2sin x cos x.
9. Решите sin(2x) = √3/2. Почему нельзя выбирать только острый угол?
10. Решите sin(2x) = −1 и проверьте период решения.
11. Правда ли, что sin(2x) = 0 равносильно sin x = 0? Приведите контрпример.
12. В уравнении sin(2x) = sin x(1 + cos x) ученик сократил sin x. Найдите обе ветви.

Полные решения и ключ к диагностике

Проверка на пропущенные ветви проводится подстановкой найденных семейств в исходное уравнение. При делении на выражение, содержащее x, надо отдельно исследовать его нули. Ни один ответ ниже не получен путём неоговорённого сокращения.

1. 2sin x cos x − sin x = sin x(2cos x − 1) = 0. Ответ: x = πk либо x = ±π/3 + 2πk. Ученик потерял x = πk.
2. sin x(2cos x + 1) = 0. Ответ: x = πk либо x = ±2π/3 + 2πk. Пропущена ветвь sin x = 0.
3. Оба множителя могут быть нулевыми: sin x = 0 ⇒ x = πk; cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πk. Объединение равно x = πk/2.
4. 2cos x(sin x − 1) = 0. Из cos x = 0 получаем x = π/2 + πk; ветвь sin x = 1 — подмножество этого семейства. Полный ответ x = π/2 + πk.
5. cos x(2sin x + 1) = 0. Случай cos x = 0 даёт x = π/2 + πk. Из sin x = −1/2 получаем x = 7π/6 + 2πk либо x = 11π/6 + 2πk. Оба семейства необходимы; деление на cos x потеряло бы первую ветвь.
6. 2sin x(cos x − 1) = 0. Все x = πk удовлетворяют уравнению; cos x = 1 даёт лишь x = 2πk. Деление теряет нечётные кратные π.
7. sin x(2cos x + 1) = 0. Ответ: x = πk или x = ±2π/3 + 2πk. Сокращение на sin x удалило бы первое семейство.
8. Это основная тригонометрическая формула, тождество для всех действительных x. Ответ: любое x ∈ ℝ. Предложенный ответ неполон.
9. Для y = 2x значения sin y = √3/2 достигаются при y = π/3 + 2πk или y = 2π/3 + 2πk. Значит x = π/6 + πk либо x = π/3 + πk.
10. 2x = −π/2 + 2πk. Значит x = −π/4 + πk. Период по x равен π, а не 2π.
11. Нет: x = π/2 даёт sin(π) = 0, однако sin(π/2) = 1. Полное множество для sin(2x) = 0: x = πk/2.
12. sin x(2cos x − 1 − cos x) = sin x(cos x − 1) = 0. Получаем x = πk; ветвь cos x = 1 уже входит. Любое x = πk подходит, другие — нет.

Доказательство полноты и особые случаи

В двенадцатом задании вся ветвь cos x = 1 уже содержится в sin x = 0; одинаковые корни не надо перечислять дважды. В четвёртом и пятом заданиях аналогично происходит поглощение одного семейства другим. В девятом и десятом заданиях обязательно делить аргумент на два: период решения для x будет не тем же, что для 2x. Для синуса двойного аргумента достаточна одна из двух стратегий: либо аккуратное разложение произведения, либо решение уравнения sin y = a с заменой y = 2x и возвратом к x.

Разбор неверного сокращения по шагам

Представим запись: 2sin x cos x = sin x; затем 2cos x = 1. Учитель должен спросить не только «верен ли второй шаг», но и «на каком множестве он верен». Он допустим при sin x ≠ 0, и именно это ограничение часто остаётся невысказанным. В самом начале можно отделить случай sin x = 0 и получить x = πk, а для остальных x разделить на ненулевую величину и решить cos x = 1/2. Если же перейти сразу к разложению sin x(2cos x − 1) = 0, оба случая сохраняются автоматически.

Полезная проверка на контрпример: когда сокращение убирает множитель sin x, подставьте x = 0 и x = π. Если исходное равенство выполняется, а окончательный ответ этих чисел не содержит, решение неполно. Для сокращения cos x возьмите x = π/2 и x = 3π/2. Контрпример показывает ошибку быстрее полного решения, но не заменяет его: после исправления необходимо всё равно перечислить все допустимые семейства с периодом.

Как проверить запись общего решения

Параметр k должен пробегать все целые числа, включая отрицательные. Выражение x = π/6 + πk означает бесконечную периодическую последовательность; запись одного угла π/6 без оговорённого интервала неполна. Для уравнения sin(2x) = √3/2 нельзя просто списать угол для sin x = √3/2: сначала решают уравнение относительно 2x, затем делят всё выражение, включая 2πk, на два. Смешение периодов даёт либо потерю, либо ложное удвоение количества корней на заданном отрезке.

Самопроверка и рекомендации

Для каждого задания поясните, был ли сокращён множитель, чей нуль является решением. Ученик освоил тему, если умеет предъявить конкретный потерянный корень и восстановить полное множество. Не путайте объединение семейств с их пересечением.