Поиск пропущенного шага доказательства по текстовому описанию чертежа — тематические карточки для 7 класса

Класс: 7. Цель: находить логический пробел в доказательстве по словесному описанию геометрической конфигурации. Формат: задания для работы на уроке, самостоятельной проверки и печати.

Подозрительное доказательство

«На чертеже всё симметрично, значит два треугольника равны» — это не доказательство. Из текстового описания надо восстановить конкретное равенство, назвать теорему и убедиться, что обозначения соответствуют объектам, которые сравнивают. Слова «середина», «биссектриса», «перпендикуляр» и «параллельные» дают разные наборы выводов; пропуск одного звена может полностью изменить результат.

Почему проверка по словам надёжнее догадки по рисунку

Текстовое описание заставляет проверять логическую достаточность. Из середины следует равенство отрезков; из биссектрисы — углов; из перпендикулярности — наличие прямых углов. Но ни одно из этих свойств само по себе не обеспечивает автоматически равенство двух треугольников. Для СУС важен включённый угол, для УСУ — сторона между углами, для ССС — все три стороны. Если условия не хватает, правильный ответ — прямо заявить о недостаточности, а не выдумать её на предполагаемом рисунке.

Двенадцать карточек: укажите пропуск или объясните невозможность

1. Описание: в треугольнике ABC точка M — середина BC, но равенство AB = AC не дано. Ученик утверждает ABM ≅ ACM, потому что BM = CM и AM общая. Что пропущено?
2. Прямые AB и CD пересекаются в O, AO = BO и CO = DO. Из этого пытаются получить AOC ≅ BOD. Какой шаг обязателен?
3. На двух сторонах угла BAC выбраны D на AB и E на AC так, что AD = AE. Ученик пишет «ADE равнобедренный» и завершает доказательство ∠ADE = ∠DEA. Какова пропущенная причина?
4. Для ABC и DEF указаны AB = DE, BC = EF, ∠ABC = ∠DEF. Автор написал «по трём сторонам». Исправьте основание.
5. У ABC отрезок AD биссектриса ∠BAC, D лежит на BC. Автор заявил ABD ≅ ACD, используя AD = AD и ∠BAD = ∠DAC. Какую ошибку он допускает?
6. В ABC и DEF известны углы A = D = 40°, B = E = 70°, C = F = 70°. Автор пишет «по двум углам». Можно ли так доказать равенство?
7. Две прямые a и b параллельны, их пересекает секущая t. В решении соответствующие углы признаны равными. Какое утверждение должно быть названо?
8. У ABC известно ∠A = 48°, ∠B = 67°. Решение утверждает ∠C = 65° без пояснения. Восстановите шаг.
9. В треугольнике ABC D — середина BC, AD перпендикулярен BC. Сравнивают ABD и ACD. Какое равенство углов надо выписать?
10. На чертеже две прямые пересекаются в O; ∠AOB = 122°. В доказательстве сразу принято ∠BOC = 58°. Что должно быть сказано о положении точек?
11. В равнобедренном ABC (AB = AC) на основании BC взяты D и E так, что BD = CE. Ученик делает вывод AD = AE. Какой фрагмент доказательства нужен?
12. На рисунке прямые AB и CD параллельны; диагональ AC соединяет их. Автор написал «∠BAC = ∠DCA», не пояснив причину. Исправьте и назовите возможную ловушку.

Доказательства и аргументированные ответы

1. Две стороны BM = CM и AM = AM ещё не дают равенства треугольников. Нужно дополнительное условие, например ∠BMA = ∠AMC (тогда СУС) либо AB = AC (тогда ССС).
2. ∠AOC = ∠BOD как вертикальные углы: AO и BO лежат на разных лучах одной прямой, CO и DO — другой. Тогда выполняется СУС.
3. По определению равнобедренного треугольника AD и AE равные боковые стороны; углы при основании DE равны. Назвать это свойство необходимо, а не просто сослаться на рисунок.
4. СУС, потому что равны две пары сторон и углы между ними; третья пара сторон из условия не известна.
5. Одна сторона и один угол недостаточны. Можно добавить AB = AC и получить СУС; без такого условия равенство не следует.
6. Нет: равенство всех углов доказывает подобие, но не одинаковые размеры. Нужна ещё хотя бы одна пара соответствующих сторон.
7. Свойство соответствующих углов при пересечении параллельных прямых секущей. Без параллельности такое равенство не гарантировано.
8. Использовать сумму внутренних углов треугольника: ∠C = 180° − 48° − 67° = 65°.
9. ∠ADB = ∠ADC = 90°, так как AD перпендикулярен прямой BC, на которой лежат DB и DC. Тогда BD = DC, AD общая, и СУС.
10. Необходимо, чтобы OA и OC были противоположными лучами. Тогда ∠AOB и ∠BOC смежные, их сумма 180°, значит ∠BOC = 58°. Одного «пересекаются в O» без обозначения пар противоположных лучей недостаточно.
11. Поскольку ∠ABC = ∠BCA, а B,D,E,C расположены на одной прямой в указанном порядке, ∠ABD = ∠ACE. Стороны AB = AC и BD = CE прилежат к этим углам; ABD ≅ ACE по СУС. Отсюда AD = AE.
12. При AB ∥ CD и секущей AC углы BAC и DCA накрест лежащие, поэтому равны. Ловушка — считать любые углы при параллельных прямых равными без уточнения расположения лучей.

Особые случаи, о которых легко забыть

• Не всякий «похожий» чертёж изображает равные фигуры: длины могли измениться без изменения углов.
• Если точка описана как лежащая на прямой, уточните порядок точек: для смежных углов нужны противоположные лучи.
• При выборе СУС проверяйте расположение угла между заданными сторонами; иначе возможны два разных треугольника.
• Общая сторона является полноценным равенством (например, AD = AD), но ещё не завершает доказательство.
• Если начальная фраза содержит логический пробел, ответ «данных недостаточно» ценнее вымышленной теоремы.

Как оценивать работу

Дайте 1 балл за точную формулировку отсутствующей строки и ещё 1 балл за объяснение, почему она обоснована. В задачах с недостаточными данными засчитывайте ответ только тогда, когда ученик указывает, какое именно дополнительное условие могло бы сделать доказательство корректным. Максимум — 24 балла.

Упражнение на редактуру доказательства

Хорошее доказательство можно читать без рисунка: для каждого угла написано, между какими лучами он образован; для каждого отрезка указано, где находятся его концы; для каждой ссылки на свойство названы необходимые условия. Представьте, что вы редактор учебника. Если написано «∠AOB и ∠COD вертикальные», проверьте не только буквы O, но и то, лежат ли A и C на противоположных лучах одной прямой, а B и D — другой. Без положения точек фраза о вертикальных углах может оказаться ложной.

Ещё одна ловушка — заключать равенство треугольников только из похожих чисел. Пусть в двух треугольниках даны две стороны по 6 и 9 см и угол 40°. Если известно, что угол находится между ними, возможна ссылка на СУС. Если он лежит против одной из сторон, теорема СУС не подходит. При проверке чужого доказательства стоит специально подписывать слово «между»: без него равенство углов не гарантирует равенства фигур.

Закончив карточки, выберите два ответа из ключа и перепишите в виде цепочки «условие → свойство → равенство → вывод». Затем найдите в собственном решении любое слово «очевидно» и замените его точной формулировкой свойства. Это особенно полезно там, где изображённый чертёж мог бы соблазнить догадкой: математическое доказательство должно выдерживать изменение масштаба и поворот бумаги.