Поиск пропущенного шага доказательства с двумя общими сторонами фигур — задачи с решениями для 7 класса

Класс: 7. Цель: отличать общие стороны пересекающихся фигур от данных, необходимых для равенства их разных треугольных частей. Формат: задания для работы на уроке, самостоятельной проверки и печати.

Условие, общее для двух вариантов

Рассматриваются два четырёхугольника ABCD и ABCE, у которых путь A–B–C одинаков. Следовательно, AB и BC — две общие стороны самих фигур. Проведём общую диагональ AC. Фигуры содержат одну и ту же часть ABC, а их различающиеся части — треугольники ACD и ACE. Проверять равенство надо именно этих треугольников.

Критическая деталь: две общие стороны AB и BC автоматически подтверждают общность участка ABC, но не дают равенства остаточных треугольников ACD и ACE. Для них всегда известна общая сторона AC; нужны ещё две подходящие пары элементов. Если D и E расположены произвольно, оставшиеся части могут иметь разную форму и площадь.

Вариант А. Восстановите пропущенную запись

1. Оба четырёхугольника ABCD и ABCE имеют общие AB, BC. Дано AD = AE = 6 см, CD = CE = 8 см. Какую третью сторону надо указать для доказательства ACD ≅ ACE?
2. Для тех же фигур известно AD = AE, ∠DAC = ∠CAE. Что записать перед применением СУС к ACD и ACE?
3. Даны ∠DAC = ∠CAE и ∠DCA = ∠ACE. Какой шаг завершает доказательство равенства ACD и ACE?
4. Величины AD = AE = 5 см, CD = CE = 7 см, AC = 9 см. Определите метод и периметры ACD и ACE.
5. Для ACD и ACE заданы AD = AE и CD = CE, но AC пока не упомянута. Ученик написал «две общие стороны AB и BC, значит треугольники равны». Исправьте одну фразу.
6. AC = 10 см, ∠DAC = ∠CAE = 35°, AD = AE = 4 см. Какое значение имеет длина AC в доказательстве?
7. Для ACD и ACE даны ∠DCA = ∠ACE, CD = CE и ∠ADC = ∠AEC. Найдите третью пару равных углов и назовите достаточный признак равенства.
8. AB и BC — общие стороны, но никаких равенств для AD, AE, CD, CE или углов при AC не дано. Обосновано ли ACD ≅ ACE?

Вариант Б. Проверьте чужое рассуждение

1. На другом листе AD = AE, ∠DAC = ∠CAE, AC общая. Назовите пропущенное математическое правило, если в доказательстве сразу написано ACD ≅ ACE.
2. Есть два общих ребра AB, BC. В остаточных треугольниках ∠DCA = ∠ACE и ∠DAC = ∠CAE; найдите заключительный шаг.
3. Указано CD = CE и AD = AE, а учащийся считает, что для ССС третьей парой должны быть AB и BC. Верно ли?
4. Если AD = AE = 7 см, CD = CE = 11 см, AC = 6 см, чему равна сумма периметров двух остаточных треугольников?
5. Пусть AB = BC = 8 см, AC = 12 см. Достаточно ли этих данных, чтобы назвать ACD и ACE равными?
6. При AC = 13 см и ∠DAC = ∠CAE, AD = AE определите признак и недостающую строку доказательства.
7. Общее ребро AB и общее ребро BC ученику кажутся двумя известными сторонами ACD и ACE. Какая ошибка в выборе элементов?
8. По тексту даны AC = AC, ∠DCA = ∠ACE, CD = CE, но второй прилежащий угол не указан. Применим ли СУС?

Ключ к варианту А

1. AC — общая диагональ: AC = AC. Все три соответствующие стороны равны; ССС.
2. Нужно явно указать AC = AC. Тогда равны AD и AE, диагональ AC и углы между ними.
3. AC = AC; она расположена между указанными углами. Срабатывает УСУ.
4. ССС по трём сторонам; оба периметра равны 5 + 7 + 9 = 21 см.
5. Не AB и BC входят в сравниваемые ACD и ACE, а AC; поскольку AC = AC, доказательство возможно по ССС.
6. Равенство AC = AC обеспечивает вторую прилежащую к углу сторону; СУС. Число 10 см для выбора признака необязательно.
7. По сумме углов ∠DAC = ∠CAE. Тогда сторона CD (CE) лежит между углами при C и D (C и E), поэтому УСУ; можно также применить два угла с прилежащей стороной, используя исходные углы.
8. Нет: общие AB и BC двух четырёхугольников не задают положения D и E; диагональ AC общая, но одной стороны мало.

Ключ к варианту Б

1. СУС: AD = AE, AC = AC, угол между ними при A равен.
2. Записать AC = AC и сослаться на УСУ для треугольников ACD и ACE.
3. Нет: для сравниваемых треугольников третья сторона — AC, совпадающая в обеих фигурах; AB и BC не являются сторонами ACD/ACE.
4. Каждый периметр 7 + 11 + 6 = 24 см; сумма 48 см. ССС подтверждает равенство.
5. Нет. Даны стороны общей части ABC, но никаких ограничений на вершины D и E.
6. СУС; строка AC = AC. Включённые углы при A заданы по условию.
7. Треугольники ACD и ACE состоят из AC, CD, AD и AC, CE, AE. AB и BC в них не входят.
8. Да: CD = CE, AC = AC, ∠DCA = ∠ACE между CD,CA и CE,CA. Второй угол для СУС не нужен.

Взаимная проверка двух решений

После обмена вариантами ученик А отмечает, какие равенства относятся к общему участку ABC, а какие — к сравниваемым остаточным треугольникам. Ученик Б сверяет каждый признак с формулировкой: ССС требует трёх пар сторон; СУС — двух пар сторон и угла между ними; УСУ — стороны и двух прилежащих углов. Проверять нужно не знакомое название признака, а правильность выбора соответствующих элементов.

Разбор частой ловушки. Из AB = AB и BC = BC можно получить только два равенства для одной и той же части общей фигуры. Если доказательство пытается переносить их на треугольники ACD и ACE, оно подменяет объект сравнения. Правильный порядок: назвать сравниваемые треугольники, выписать их стороны, указать общую AC и только потом привлекать остальные условия.