Поиск пропущенного значения в таблице при одинаковом значении в одной точке — задания с разбором, 7 класс

Математика · 7 класс · MATH-1336. Цель: находить общий табличный пропуск при равенстве двух линейных функций в одной точке, не смешивая их наклоны. Задания выполняют на бумаге; подробные ответы даны после упражнений.

Диагностика из 12 вопросов. У двух линейных функций известно одинаковое значение в одной точке x = x₀. Требуется заполнить пропущенное число в таблице и восстановить неизвестный свободный член второй функции. В отличие от задач на известный пересечение оси Oy, здесь общая точка может находиться при любом x, в том числе отрицательном.

Три контрольных вопроса — проверьте основной приём

1. Контрольный вопрос. y₁ = 2x + (3); y₂ = −1x + b. При x = 5 обе функции имеют одинаковое значение. Восстановите b, а затем заполните пропуск общего y.
2. Контрольный вопрос. y₁ = −3x + (4); y₂ = 2x + b. При x = −1 обе функции имеют одинаковое значение. Восстановите b, а затем заполните пропуск общего y.
3. Контрольный вопрос. y₁ = 4x + (−2); y₂ = 1x + b. При x = 3 обе функции имеют одинаковое значение. Восстановите b, а затем заполните пропуск общего y.

Продолжение: когда совпадение касается только одного столбца

4. По таблице известно: в строке x = 6 оба y одинаковы. Для y = 1 и y₂ = 2x + b₂ определите b₂ и недостающее значение y при x = 6. Могут ли эти функции быть тождественно равны?
5. В ячейке таблицы для x = 4 две прямые совпали по значению: y = 1/2x и y₂ = −1x + b₂. Найдите b₂ и общий пропуск y. Проверьте обе подстановки.
6. В ячейке таблицы для x = 1 две прямые совпали по значению: y = 3x − 3 и y₂ = −2x + b₂. Найдите b₂ и общий пропуск y. Проверьте обе подстановки.
7. По таблице известно: в строке x = 0 оба y одинаковы. Для y = −x + 5 и y₂ = 4x + b₂ определите b₂ и недостающее значение y при x = 0. Могут ли эти функции быть тождественно равны?

Повышенная точность: дробные коэффициенты и отрицательные аргументы

8. В ячейке таблицы для x = 4 две прямые совпали по значению: y = −3/2x + 2 и y₂ = 1/2x + b₂. Найдите b₂ и общий пропуск y. Проверьте обе подстановки.
9. В ячейке таблицы для x = −2 две прямые совпали по значению: y = 5x + 2 и y₂ = −1x + b₂. Найдите b₂ и общий пропуск y. Проверьте обе подстановки.
10. В ячейке таблицы для x = 3 две прямые совпали по значению: y = −2x и y₂ = 1x + b₂. Найдите b₂ и общий пропуск y. Проверьте обе подстановки.
11. По таблице известно: в строке x = 6 оба y одинаковы. Для y = 2/3x − 3 и y₂ = −1/3x + b₂ определите b₂ и недостающее значение y при x = 6. Могут ли эти функции быть тождественно равны?
12. В ячейке таблицы для x = 7 две прямые совпали по значению: y = −4x − 1 и y₂ = 3x + b₂. Найдите b₂ и общий пропуск y. Проверьте обе подстановки.

Быстрый ключ с двумя подстановками

• 1. y₁(5) = 2 · (5) + (3) = 13. Из равенства −1 · (5) + b₂ = 13 получаем b₂ = 18. Проверка: −1 · (5) + (18) = 13. Коэффициенты наклона различны, поэтому одинаковы только в одной точке.
• 2. y₁(−1) = −3 · (−1) + (4) = 7. Из равенства 2 · (−1) + b₂ = 7 получаем b₂ = 9. Проверка: 2 · (−1) + (9) = 7. Коэффициенты наклона различны, поэтому одинаковы только в одной точке.
• 3. y₁(3) = 4 · (3) + (−2) = 10. Из равенства 1 · (3) + b₂ = 10 получаем b₂ = 7. Проверка: 1 · (3) + (7) = 10. Коэффициенты наклона различны, поэтому одинаковы только в одной точке.
• 4. y₁(6) = 0 · (6) + (1) = 1. Из равенства 2 · (6) + b₂ = 1 получаем b₂ = −11. Проверка: 2 · (6) + (−11) = 1. Коэффициенты наклона различны, поэтому одинаковы только в одной точке.
• 5. y₁(4) = 1/2 · (4) + (0) = 2. Из равенства −1 · (4) + b₂ = 2 получаем b₂ = 6. Проверка: −1 · (4) + (6) = 2. Коэффициенты наклона различны, поэтому одинаковы только в одной точке.
• 6. y₁(1) = 3 · (1) + (−3) = 0. Из равенства −2 · (1) + b₂ = 0 получаем b₂ = 2. Проверка: −2 · (1) + (2) = 0. Коэффициенты наклона различны, поэтому одинаковы только в одной точке.
• 7. y₁(0) = −1 · (0) + (5) = 5. Из равенства 4 · (0) + b₂ = 5 получаем b₂ = 5. Проверка: 4 · (0) + (5) = 5. Коэффициенты наклона различны, поэтому одинаковы только в одной точке.
• 8. y₁(4) = −3/2 · (4) + (2) = −4. Из равенства 1/2 · (4) + b₂ = −4 получаем b₂ = −6. Проверка: 1/2 · (4) + (−6) = −4. Коэффициенты наклона различны, поэтому одинаковы только в одной точке.
• 9. y₁(−2) = 5 · (−2) + (2) = −8. Из равенства −1 · (−2) + b₂ = −8 получаем b₂ = −10. Проверка: −1 · (−2) + (−10) = −8. Коэффициенты наклона различны, поэтому одинаковы только в одной точке.
• 10. y₁(3) = −2 · (3) + (0) = −6. Из равенства 1 · (3) + b₂ = −6 получаем b₂ = −9. Проверка: 1 · (3) + (−9) = −6. Коэффициенты наклона различны, поэтому одинаковы только в одной точке.
• 11. y₁(6) = 2/3 · (6) + (−3) = 1. Из равенства −1/3 · (6) + b₂ = 1 получаем b₂ = 3. Проверка: −1/3 · (6) + (3) = 1. Коэффициенты наклона различны, поэтому одинаковы только в одной точке.
• 12. y₁(7) = −4 · (7) + (−1) = −29. Из равенства 3 · (7) + b₂ = −29 получаем b₂ = −50. Проверка: 3 · (7) + (−50) = −29. Коэффициенты наклона различны, поэтому одинаковы только в одной точке.

Особые случаи и типичная логическая ошибка

Из равенства y₁(x₀) = y₂(x₀) не следует, что функции имеют одинаковые коэффициенты или совпадают на всей числовой прямой. Если k₁ ≠ k₂, две прямые могут встретиться только в одной точке. Чтобы проверить ответ, следует отдельно подставить x₀ в каждую формулу. При k₁ = k₂ и общей точке значения b тоже совпадают, значит функции тождественно равны.

Если в таблице пропущено значение второй функции, нельзя сразу переносить свободный член первой. Переносить можно общее значение y только в том столбце, для которого условие гарантирует равенство. Например, y₁ = 2x + 3 и y₂ = −x + 9 совпадают при x = 2: обе ординаты равны 7, но при x = 0 получаются 3 и 9.

Как оценить результат

Каждое задание оценивайте в 1 балл за оба найденных числа и короткую проверку равенства. 11–12 — уверенное решение; 8–10 — повторить перенос слагаемых; 5–7 — сначала подставлять x₀ в первую формулу; 0–4 — разбирать по одной точке с учителем. Если ответ отличается на знак, выпишите уравнение k₂x₀ + b₂ = y₀ отдельной строкой и только потом находите b₂.