Поиск рациональных границ для суммы двух корней: пошаговые задания для 8 класса
Проверочная по оценке суммы корней. Цель — не получить приблизительный ответ, а доказать две рациональные границы для √a + √b. Любая конечная десятичная дробь — рациональное число; например, 1,4 = 14/10. Поэтому сравнение квадратов десятых допустимо и строго.
Содержание статьи8 разделов
Базовый алгоритм
Для положительного n найдите соседние десятые l и u, такие что l² < n < u². Тогда l < √n < u. Проделайте это с обоими корнями и сложите нижние и верхние оценки: l₁ + l₂ < √a + √b < u₁ + u₂. Если один корень — целое число, используйте его точное значение вместо искусственного интервала.
Образец: для √2 + √3 имеем 1,4² = 1,96 < 2 < 2,25 = 1,5² и 1,7² = 2,89 < 3 < 3,24 = 1,8². Значит, 3,1 < √2 + √3 < 3,3. Ширина интервала 0,2; все границы рациональны, калькулятор корней не использовался.
Уровень А: 10 основных оценок
В каждом задании сначала отметьте квадраты двух ближайших десятых отдельно для каждого слагаемого, затем сложите границы.
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √2 + √3; запишите интервал для суммы и его ширину.
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √5 + √7; запишите интервал для суммы и его ширину.
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √6 + √11; запишите интервал для суммы и его ширину.
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √8 + √13; запишите интервал для суммы и его ширину.
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √10 + √15; запишите интервал для суммы и его ширину.
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √17 + √26; запишите интервал для суммы и его ширину.
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √20 + √29; запишите интервал для суммы и его ширину.
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √28 + √35; запишите интервал для суммы и его ширину.
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √31 + √38; запишите интервал для суммы и его ширину.
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √3 + √12; запишите интервал для суммы и его ширину.
Уровень Б: числа с точным квадратным корнем
Если √4 = 2 или √9 = 3, то к десятым границам другого корня прибавляется точно 2 или 3. Так итоговый интервал уже, чем при искусственном округлении точного корня.
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √4 + √5; запишите интервал для суммы и его ширину.
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √9 + √14; запишите интервал для суммы и его ширину.
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √25 + √6; запишите интервал для суммы и его ширину.
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √18 + √27; запишите интервал для суммы и его ширину.
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √19 + √33; запишите интервал для суммы и его ширину.
Уровень В: более крупные подкоренные числа
Здесь особенно важно доказать верхнюю оценку квадратом дроби, а не округлением «на глаз».
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √37 + √50; запишите интервал для суммы и его ширину.
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √41 + √52; запишите интервал для суммы и его ширину.
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √45 + √61; запишите интервал для суммы и его ширину.
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √63 + √67; запишите интервал для суммы и его ширину.
- Найдите рациональные границы с шагом 1/10 для √70 + √74; запишите интервал для суммы и его ширину.
Повышенный уровень: сотые доли
- Уточните рациональные границы для √2 + √3 с шагом 0,01; подтвердите неравенствами между квадратами сотых и подкоренными числами.
- Покажите рациональный интервал ширины 0,02 для √5 + √10, пользуясь границами с шагом 0,01.
Ключ ответов
| № | Доказанный интервал | Границы отдельных корней | Ширина |
|---|---|---|---|
| 1 | 3.1 < √2 + √3 < 3.3 | 1.4 < √2 < 1.5; 1.7 < √3 < 1.8 | 0.2 |
| 2 | 4.8 < √5 + √7 < 5 | 2.2 < √5 < 2.3; 2.6 < √7 < 2.7 | 0.2 |
| 3 | 5.7 < √6 + √11 < 5.9 | 2.4 < √6 < 2.5; 3.3 < √11 < 3.4 | 0.2 |
| 4 | 6.4 < √8 + √13 < 6.6 | 2.8 < √8 < 2.9; 3.6 < √13 < 3.7 | 0.2 |
| 5 | 6.9 < √10 + √15 < 7.1 | 3.1 < √10 < 3.2; 3.8 < √15 < 3.9 | 0.2 |
| 6 | 9.1 < √17 + √26 < 9.3 | 4.1 < √17 < 4.2; 5 < √26 < 5.1 | 0.2 |
| 7 | 9.7 < √20 + √29 < 9.9 | 4.4 < √20 < 4.5; 5.3 < √29 < 5.4 | 0.2 |
| 8 | 11.1 < √28 + √35 < 11.3 | 5.2 < √28 < 5.3; 5.9 < √35 < 6 | 0.2 |
| 9 | 11.6 < √31 + √38 < 11.8 | 5.5 < √31 < 5.6; 6.1 < √38 < 6.2 | 0.2 |
| 10 | 5.1 < √3 + √12 < 5.3 | 1.7 < √3 < 1.8; 3.4 < √12 < 3.5 | 0.2 |
| 11 | 4.2 < √4 + √5 < 4.3 | √4 = 2; 2.2 < √5 < 2.3 | 0.1 |
| 12 | 6.7 < √9 + √14 < 6.8 | √9 = 3; 3.7 < √14 < 3.8 | 0.1 |
| 13 | 7.4 < √25 + √6 < 7.5 | √25 = 5; 2.4 < √6 < 2.5 | 0.1 |
| 14 | 9.3 < √18 + √27 < 9.5 | 4.2 < √18 < 4.3; 5.1 < √27 < 5.2 | 0.2 |
| 15 | 10 < √19 + √33 < 10.2 | 4.3 < √19 < 4.4; 5.7 < √33 < 5.8 | 0.2 |
| 16 | 13 < √37 + √50 < 13.2 | 6 < √37 < 6.1; 7 < √50 < 7.1 | 0.2 |
| 17 | 13.6 < √41 + √52 < 13.8 | 6.4 < √41 < 6.5; 7.2 < √52 < 7.3 | 0.2 |
| 18 | 14.5 < √45 + √61 < 14.7 | 6.7 < √45 < 6.8; 7.8 < √61 < 7.9 | 0.2 |
| 19 | 16 < √63 + √67 < 16.2 | 7.9 < √63 < 8; 8.1 < √67 < 8.2 | 0.2 |
| 20 | 16.9 < √70 + √74 < 17.1 | 8.3 < √70 < 8.4; 8.6 < √74 < 8.7 | 0.2 |
Разбор повышенных заданий
- 21. 1,41² = 1,9881 < 2 < 2,0164 = 1,42²; 1,73² = 2,9929 < 3 < 3,0276 = 1,74². После сложения: 3,14 < √2 + √3 < 3,16. Интервал имеет ширину 0,02.
- 22. 2,23² = 4,9729 < 5 < 5,0176 = 2,24²; 3,16² = 9,9856 < 10 < 10,0489 = 3,17². Поэтому 5,39 < √5 + √10 < 5,41. Ширина тоже 0,02.
Критерии и проверка обоснования
За каждое задание 1–20 ставьте один балл за верные границы отдельных корней и один за корректное сложение, итоговый знак и ширину интервала. В заданиях 21–22 дополнительно важна проверка квадратов указанных сотых. Если ребёнок получил верный интервал, но не доказал его, математическая работа не завершена.
Типичная ошибка: из l < √a < u нельзя заключить, что корень равен l или u. Для суммы двух разных корней всегда добавляйте оба нижних и оба верхних края. У всех двадцати пар хотя бы один корень иррационален, поэтому границы суммы записаны строго.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.