Поиск равных многочленов с взаимным уничтожением старших членов: проверочная работа по математике, 7 класс

7 класс · Алгебра · 1300. Проверочная работа: найти пары равных многочленов, у которых до раскрытия скобок видны большие члены x² или x³, а после преобразования они взаимно уничтожаются. Два варианта проверяют разные способы рассуждения.

Инструкция: для каждой пары A и B раскройте скобки, уберите противоположные старшие члены, затем ответьте «равны как многочлены» или «не равны». Проверка только при x=1 не засчитывается как доказательство тождества.

Вариант А · раскрытие скобок и сравнение коэффициентов

Первые восемь пар следует проверять алгебраически. В числе задач есть случаи, где равенство верно для x=1, но не является тождеством. Отметьте эту ловушку в своём решении.

1. A = (−7x³ + 3x − 7) − (−7x³ − 6x − 4); B = (−10x³ + 3x + 6) − (−10x³ − 6x + 9). Равны ли эти многочлены при всех x?
2. A = (−7x² − 8x − 11) − (−7x² + 8x − 8); B = (9x² + 3x − 6) − (9x² + 17x − 1). Равны ли эти многочлены при всех x?
3. A = (4x² − 4x − 7) − (4x² − 6x + 2); B = (−6x² + 6x − 2) − (−6x² + 4x + 7). Равны ли эти многочлены при всех x?
4. A = (8x³ − 8x + 6) − (8x³ + 8x + 9); B = (7x³ − 3x + 6) − (7x³ + 16x + 12). Равны ли эти многочлены при всех x?
5. A = (4x² + 3x − 1) − (4x² + 8x − 4); B = (7x² − 3x + 9) − (7x² + 2x + 6). Равны ли эти многочлены при всех x?
6. A = (4x² − 6x + 11) − (4x² + 2x − 4); B = (7x² + 3x + 8) − (7x² + 14x − 10). Равны ли эти многочлены при всех x?
7. A = (6x³ − 6x + 2) − (6x³ − 3x − 3); B = (7x³ + 3x + 5) − (7x³ + 6x). Равны ли эти многочлены при всех x?
8. A = (−7x² + 3x + 1) − (−7x² − 3x + 6); B = (−6x² − 3x + 5) − (−6x² − 6x + 7). Равны ли эти многочлены при всех x?

Вариант Б · доказательство без случайной подстановки

Для каждой новой пары выпишите коэффициенты при x и свободные члены. Если они совпадают, равенство тождественно. Если нет, найдите хотя бы одно значение x, при котором многочлены различаются; это служит контрпримером, но не заменяет алгебраической проверки.

9. A = (−5x² − 8x − 11) − (−5x² + 2x − 1); B = (9x² + 3x − 3) − (9x² + 13x + 7). Равны ли эти многочлены при всех x?
10. A = (6x³ + 3x + 11) − (6x³ − 6x − 1); B = (7x³ − 8x + 3) − (7x³ − 21x − 5). Равны ли эти многочлены при всех x?
11. A = (−7x² − 6x − 9) − (−7x² + 4x + 6); B = (9x² + 6x − 6) − (9x² + 16x + 9). Равны ли эти многочлены при всех x?
12. A = (−9x² + 5x + 1) − (−9x² + 2x + 9); B = (5x² + 3x − 3) − (5x² − 4x + 8). Равны ли эти многочлены при всех x?
13. A = (6x³ − 6x + 9) − (6x³ + 2x); B = (−6x³ − 3x + 5) − (−6x³ + 5x − 4). Равны ли эти многочлены при всех x?
14. A = (−5x² + 3x − 2) − (−5x² + 2x + 7); B = (−6x² + 6x + 4) − (−6x² + x + 17). Равны ли эти многочлены при всех x?
15. A = (−5x² + 3x + 7) − (−5x² + 2x + 5); B = (−4x² + 3x + 9) − (−4x² + 2x + 7). Равны ли эти многочлены при всех x?
16. A = (−9x³ + 3x + 12) − (−9x³ − 3x + 9); B = (−4x³ − 3x + 7) − (−4x³ − 11x + 1). Равны ли эти многочлены при всех x?

Ключ с сокращением старших членов

Ответы варианта А

1. Да, равны. После уничтожения членов степени 3 остаётся A=9x − 3, B=9x − 3. Разность равна нулевому многочлену.
2. Нет, не равны. После уничтожения членов степени 2 остаётся A=−16x − 3, B=−14x − 5. Разность A−B=−2x + 2 не является нулевым многочленом.
3. Да, равны. После уничтожения членов степени 2 остаётся A=2x − 9, B=2x − 9. Разность равна нулевому многочлену.
4. Нет, не равны. После уничтожения членов степени 3 остаётся A=−16x − 3, B=−19x − 6. Разность A−B=3x + 3 не является нулевым многочленом.
5. Да, равны. После уничтожения членов степени 2 остаётся A=−5x + 3, B=−5x + 3. Разность равна нулевому многочлену.
6. Нет, не равны. После уничтожения членов степени 2 остаётся A=−8x + 15, B=−11x + 18. Разность A−B=3x − 3 не является нулевым многочленом.
7. Да, равны. После уничтожения членов степени 3 остаётся A=−3x + 5, B=−3x + 5. Разность равна нулевому многочлену.
8. Нет, не равны. После уничтожения членов степени 2 остаётся A=6x − 5, B=3x − 2. Разность A−B=3x − 3 не является нулевым многочленом.

Ответы варианта Б

9. Да, равны. После уничтожения членов степени 2 остаётся A=−10x − 10, B=−10x − 10. Разность равна нулевому многочлену.
10. Нет, не равны. После уничтожения членов степени 3 остаётся A=9x + 12, B=13x + 8. Разность A−B=−4x + 4 не является нулевым многочленом.
11. Да, равны. После уничтожения членов степени 2 остаётся A=−10x − 15, B=−10x − 15. Разность равна нулевому многочлену.
12. Нет, не равны. После уничтожения членов степени 2 остаётся A=3x − 8, B=7x − 11. Разность A−B=−4x + 3 не является нулевым многочленом.
13. Да, равны. После уничтожения членов степени 3 остаётся A=−8x + 9, B=−8x + 9. Разность равна нулевому многочлену.
14. Нет, не равны. После уничтожения членов степени 2 остаётся A=x − 9, B=5x − 13. Разность A−B=−4x + 4 не является нулевым многочленом.
15. Да, равны. После уничтожения членов степени 2 остаётся A=x + 2, B=x + 2. Разность равна нулевому многочлену.
16. Нет, не равны. После уничтожения членов степени 3 остаётся A=6x + 3, B=8x + 6. Разность A−B=−2x − 3 не является нулевым многочленом.

Критерии оценивания. За каждую пару — один балл за правильный итог и ещё один за приведение обоих выражений к стандартному виду. Максимум 32 балла. Проверяя работу соседа, обратите внимание, что +6x³ и −6x³ взаимно уничтожаются, однако наличие оставшегося −2x не даёт права писать нуль.

Общий вывод: два многочлена равны тождественно, если коэффициенты при каждой одинаковой степени переменной совпадают. Исчезновение старших членов само по себе ещё не доказывает равенства: требуется сопоставить всё, что осталось после их сокращения.

Прежде чем сверять ответы: логика сравнения

В каждом задании фигурируют два выражения, составленные как разности многочленов. У обоих сначала виден член высокой степени, но после вычитания он исчезает, поскольку его коэффициент одинаков в уменьшаемом и вычитаемом. Только после этого имеет смысл сравнивать оставшиеся линейные выражения. Если старшие члены пропали у обоих, это ещё не означает автоматического равенства многочленов A и B.

Полезный пример: (5x³+4x−2)−(5x³−x+3)=5x−5. Другая запись (7x³+6x−1)−(7x³+x+4)=5x−5. Здесь исчезает третья степень, а оставшиеся коэффициенты совпадают. Но если во второй записи вместо +4 окажется +5, свободный член станет −6, и равенство нарушится, хотя старшие члены всё ещё сократятся.

Как работать с контрольной подстановкой

Если два многочлена после преобразования отличаются, удобно подобрать значение x, при котором их результаты различны. Например, 4x−3 и 5x−4 равны при x=1, однако при x=0 дают −3 и −4. Это контрпример к утверждению о тождественном равенстве. Обратная логика неверна: одно успешное совпадение при x=1 ничего не говорит о всех остальных значениях.

Взаимная проверка вариантов: ученик А передаёт товарищу только свой стандартный вид обеих записей, не раскрывая итог «да» или «нет». Ученик Б самостоятельно сравнивает коэффициенты. Если выводы расходятся, проверьте знаки слагаемых, появившиеся после вычитания второй скобки. Такой способ быстрее обнаруживает содержательную ошибку, чем повторение вычислений с самого начала.

Дополнительная граница применения: когда после сокращения остаётся число, это тоже многочлен — нулевой степени, если число не равно нулю. Если же сокращаются вообще все члены, получается нулевой многочлен, степень которого в школьных курсах обычно отдельно не определяют. Здесь важно корректно распознавать ноль, а не искусственно приписывать ему степень 0.