Поиск стационарной точки по таблице знаков — диагностика ошибок, 11 класс

11 класс. Цель: читать таблицы знаков производной и проверять ошибочные выводы о стационарности.

Ученик получает строки знаков производной и ищет стационарные точки. Трудность не в вычислении корней, а в различии между нулём производной, сменой знака и отсутствием производной.

Как читать таблицу знаков

Стационарная точка — внутренняя точка области определения, в которой производная существует и равна нулю. Если производная меняет знак с «−» на «+», возникает локальный минимум; с «+» на «−» — максимум. Если знак не меняется, нуль производной может не быть экстремумом. Смена знака через точку, где производная не существует, сама по себе не даёт стационарной точки.

Уровень 1 — пять ошибок в готовых ответах

1. Задание 1. Найдите ошибку: f′ слева от 2 отрицательна, справа положительна, f′(2)=0. Ученик назвал x=2 максимумом.

2. Задание 2. Найдите ошибку: f′ слева и справа от −1 положительна, f′(−1)=0. Ученик написал: «Нуля производной нет».

3. Задание 3. Найдите ошибку: f(x)=|x−3|. Ученик объявил x=3 стационарной точкой, поскольку функция имеет минимум.

4. Задание 4. Найдите ошибку: По рисунку f′(x)>0 при x≠4, а f′(4) не задана. Ученик решил, что f′(4)=0.

5. Задание 5. Найдите ошибку: f′(0)=0, f′ слева положительна, а справа отрицательна. Ученик написал, что максимумом является всё множество x<0.

Проверка и объяснения

1. 1. В x=2 локальный минимум: убывание сменяется возрастанием. Знак производной, а не форма стрелки, определяет тип экстремума.

2. 2. x=−1 является стационарной точкой, хотя экстремума там нет: знак «+» по обе стороны.

3. 3. При x=3 односторонние производные равны −1 и 1, обычная производная не существует. Точка минимума не стационарная.

4. 4. Из положительных знаков по соседству нельзя сделать вывод о значении в точке. При отсутствии производной стационарности нет.

5. 5. Единственная указанная точка локального максимума — x=0, потому что именно там знак меняется с «+» на «−».

Уровень 2 — таблицы по заданной производной

Знаки и простые нули

1. Задание 6. Дано f′(x) = 2·(x + 3). Определите характер изменения у x=−3. Составьте таблицу знаков и найдите стационарные точки.

2. Задание 7. Дано f′(x) = −(x − 4). Уточните тип экстремума. Составьте таблицу знаков и найдите стационарные точки.

3. Задание 8. Дано f′(x) = 3·(x − 1)². Объясните отсутствие экстремума. Составьте таблицу знаков и найдите стационарные точки.

4. Задание 9. Дано f′(x) = −2·(x + 2)². Отличите стационарность от максимума. Составьте таблицу знаков и найдите стационарные точки.

5. Задание 10. Дано f′(x) = (x + 4)·(x − 2). Найдите две стационарные точки. Составьте таблицу знаков и найдите стационарные точки.

6. Задание 11. Дано f′(x) = −(x + 1)·(x − 3). Проверьте переходы знаков. Составьте таблицу знаков и найдите стационарные точки.

Разбор заданий 6–11

1. 6. Нули производной: x=-3. Таблица знаков: − → 0 при x=-3 → +. x=-3: минимум. Множитель чётной степени сохраняет знак, нечётной — меняет.

2. 7. Нули производной: x=4. Таблица знаков: + → 0 при x=4 → −. x=4: максимум. Множитель чётной степени сохраняет знак, нечётной — меняет.

3. 8. Нули производной: x=1. Таблица знаков: + → 0 при x=1 → +. x=1: стационарная точка без экстремума. Множитель чётной степени сохраняет знак, нечётной — меняет.

4. 9. Нули производной: x=-2. Таблица знаков: − → 0 при x=-2 → −. x=-2: стационарная точка без экстремума. Множитель чётной степени сохраняет знак, нечётной — меняет.

5. 10. Нули производной: x=-4, x=2. Таблица знаков: + → 0 при x=-4 → − → 0 при x=2 → +. x=-4: максимум; x=2: минимум. Множитель чётной степени сохраняет знак, нечётной — меняет.

6. 11. Нули производной: x=-1, x=3. Таблица знаков: − → 0 при x=-1 → + → 0 при x=3 → −. x=-1: минимум; x=3: максимум. Множитель чётной степени сохраняет знак, нечётной — меняет.

Знаки при кратных нулях

1. Задание 12. Дано f′(x) = x³. Чему равен тип экстремума? Составьте таблицу знаков и найдите стационарные точки.

2. Задание 13. Дано f′(x) = −3·(x − 5)³. Укажите изменение монотонности. Составьте таблицу знаков и найдите стационарные точки.

3. Задание 14. Дано f′(x) = 2·(x + 2)²·(x − 3). Какая из двух точек — экстремум? Составьте таблицу знаков и найдите стационарные точки.

4. Задание 15. Дано f′(x) = −2·(x + 4)·(x − 1)². Какая из них — лишь горизонтальная касательная? Составьте таблицу знаков и найдите стационарные точки.

5. Задание 16. Дано f′(x) = (x + 2)·x·(x − 4). Определите тип каждой точки. Составьте таблицу знаков и найдите стационарные точки.

6. Задание 17. Дано f′(x) = −(x + 5)·(x + 1)²·(x − 2). Отметьте точки, где знак не меняется. Составьте таблицу знаков и найдите стационарные точки.

Разбор заданий 12–17

1. 12. Нули производной: x=0. Таблица знаков: − → 0 при x=0 → +. x=0: минимум. Множитель чётной степени сохраняет знак, нечётной — меняет.

2. 13. Нули производной: x=5. Таблица знаков: + → 0 при x=5 → −. x=5: максимум. Множитель чётной степени сохраняет знак, нечётной — меняет.

3. 14. Нули производной: x=-2, x=3. Таблица знаков: − → 0 при x=-2 → − → 0 при x=3 → +. x=-2: стационарная точка без экстремума; x=3: минимум. Множитель чётной степени сохраняет знак, нечётной — меняет.

4. 15. Нули производной: x=-4, x=1. Таблица знаков: + → 0 при x=-4 → − → 0 при x=1 → −. x=-4: максимум; x=1: стационарная точка без экстремума. Множитель чётной степени сохраняет знак, нечётной — меняет.

5. 16. Нули производной: x=-2, x=0, x=4. Таблица знаков: − → 0 при x=-2 → + → 0 при x=0 → − → 0 при x=4 → +. x=-2: минимум; x=0: максимум; x=4: минимум. Множитель чётной степени сохраняет знак, нечётной — меняет.

6. 17. Нули производной: x=-5, x=-1, x=2. Таблица знаков: − → 0 при x=-5 → + → 0 при x=-1 → + → 0 при x=2 → −. x=-5: минимум; x=-1: стационарная точка без экстремума; x=2: максимум. Множитель чётной степени сохраняет знак, нечётной — меняет.

Сложные таблицы с несколькими нулями

1. Задание 18. Дано f′(x) = 3·(x − 2)²·(x − 5)². Есть ли хотя бы один экстремум? Составьте таблицу знаков и найдите стационарные точки.

2. Задание 19. Дано f′(x) = −(x + 3)·x²·(x − 2). Сопоставьте два экстремума и плоскую точку. Составьте таблицу знаков и найдите стационарные точки.

3. Задание 20. Дано f′(x) = 2·(x + 2)³·(x − 3)². Где возникает локальный минимум? Составьте таблицу знаков и найдите стационарные точки.

4. Задание 21. Дано f′(x) = −2·(x + 4)²·(x − 1)³. Какая стационарная точка не экстремум? Составьте таблицу знаков и найдите стационарные точки.

5. Задание 22. Дано f′(x) = (x + 3)·(x − 1)²·(x − 5). Запишите порядок чередования знаков. Составьте таблицу знаков и найдите стационарные точки.

6. Задание 23. Дано f′(x) = −3·(x + 2)²·x·(x − 2)². Найдите единственный локальный экстремум. Составьте таблицу знаков и найдите стационарные точки.

Разбор заданий 18–23

1. 18. Нули производной: x=2, x=5. Таблица знаков: + → 0 при x=2 → + → 0 при x=5 → +. x=2: стационарная точка без экстремума; x=5: стационарная точка без экстремума. Множитель чётной степени сохраняет знак, нечётной — меняет.

2. 19. Нули производной: x=-3, x=0, x=2. Таблица знаков: − → 0 при x=-3 → + → 0 при x=0 → + → 0 при x=2 → −. x=-3: минимум; x=0: стационарная точка без экстремума; x=2: максимум. Множитель чётной степени сохраняет знак, нечётной — меняет.

3. 20. Нули производной: x=-2, x=3. Таблица знаков: − → 0 при x=-2 → + → 0 при x=3 → +. x=-2: минимум; x=3: стационарная точка без экстремума. Множитель чётной степени сохраняет знак, нечётной — меняет.

4. 21. Нули производной: x=-4, x=1. Таблица знаков: + → 0 при x=-4 → + → 0 при x=1 → −. x=-4: стационарная точка без экстремума; x=1: максимум. Множитель чётной степени сохраняет знак, нечётной — меняет.

5. 22. Нули производной: x=-3, x=1, x=5. Таблица знаков: + → 0 при x=-3 → − → 0 при x=1 → − → 0 при x=5 → +. x=-3: максимум; x=1: стационарная точка без экстремума; x=5: минимум. Множитель чётной степени сохраняет знак, нечётной — меняет.

6. 23. Нули производной: x=-2, x=0, x=2. Таблица знаков: + → 0 при x=-2 → + → 0 при x=0 → − → 0 при x=2 → −. x=-2: стационарная точка без экстремума; x=0: максимум; x=2: стационарная точка без экстремума. Множитель чётной степени сохраняет знак, нечётной — меняет.

Для самопроверки. Сначала выпишите точки, где f′=0; затем отдельно проверьте знак слева и справа. Нельзя назвать точку стационарной лишь потому, что график в ней имеет угол или разрыв. Если знак не изменился, это не отменяет равенство f′=0.