Поиск стационарной точки при разрывах в заданной области: карточки с ответами, 11 класс

Математика · 11 класс · MATH-1864

Учебная цель: находить стационарные точки рациональных и многочленных функций, не принимая разрывы и удалённые нули за допустимые корни.

Три контрольных вопроса до вычислений

1. Функция f(x)=x² задана на R{0}. Является ли x=0 стационарной точкой?
2. f(x)=(x−2)³/(x−2). Найдите стационарные точки исходной дроби.
3. f(x)=x²/(x−1). Какие значения x запрещены?

Стационарная точка — это точка области определения функции, в которой производная существует и равна нулю. Разрыв, полюс либо выколотая точка не может быть стационарной точкой. Даже если после сокращения дроби формула даёт нуль производной в исключённом x, исходная функция там не определена.

Семь новых задач: вычисляйте только допустимые нули

4. Для той же f=x²/(x−1) вычислите стационарные абсциссы.
5. f(x)=x+1/x. Сколько у неё стационарных точек?
6. f(x)=1/(x−4). Может ли x=4 быть стационарной точкой?
7. f(x)=(x²−1)/(x−1). Верно ли, что x=1 — стационарная точка?
8. f(x)=x²/(x²−1). Найдите запрещённые значения и стационарные точки.
9. f(x)=x³/(x−1). Найдите все стационарные абсциссы.
10. f(x)=(x−5)², но x≠5. Сколько стационарных точек?

Дополнительная проверка и самоконтроль

11. f(x)=x³, D=R{2}. Стационарна ли точка 0?
12. f(x)=(x²−4)/(x−2). Найдите стационарные абсциссы.
13. Ученик при решении f′(x)=0 умножил дробь на знаменатель и записал любой найденный корень. Назовите обязательную проверку.

Быстрый ключ: область определения всегда раньше производной

1. Нет: точка 0 исключена из D, хотя формальная производная 2x обращается там в нуль.
2. D=R{2}; при x≠2 f=(x−2)², f′=2(x−2). Единственный формальный нуль при 2 исключён, поэтому стационарных точек нет.
3. x=1: там знаменатель обращается в нуль.
4. f′=x(x−2)/(x−1)². Нули x=0 и x=2 допустимы. Ответ: 0 и 2.
5. Две: f′=1−1/x²=0 даёт x=−1 и x=1; x=0 исключён.
6. Нет: x=4 не входит в D; f′=−1/(x−4)² не равна нулю нигде на D.
7. Нет. При x≠1 функция равна x+1, её производная 1; точка 1 не определена.
8. D=R{−1,1}. f′=−2x/(x²−1)², нуль x=0 допустим; единственная стационарная абсцисса 0.
9. f′=x²(2x−3)/(x−1)². Получаем x=0 и x=3/2; обе допустимы, x=1 исключён.
10. Ни одной. Производная 2(x−5) обнуляется только в исключённой точке.
11. Да: 0 принадлежит D и f′(0)=3·0²=0. Удаление x=2 на это не влияет.
12. Нет: f=x+2 при x≠2, производная равна 1; исключённая точка 2 не стационарна.
13. Каждый найденный x нужно проверить на принадлежность области определения исходной функции, иначе корень уравнения может соответствовать дырке или полюсу.

Главная ловушка — задача 2. Исходная дробь сокращается до квадрата, но только при x≠2. Формальный нуль производной возникает ровно в отсутствующей точке. Поэтому правильный ответ «нет стационарных точек». В задаче 4, напротив, два найденных корня действительно допустимы, а недопустимая точка x=1 не появляется в уравнении для нулей производной.

В задачах 8 и 9 обязательно сначала выпишите запрещённые знаменателем значения. Затем вычислите производную и найдите её нули. Не исключайте допустимый корень только потому, что где-то ещё у функции имеется разрыв: каждую точку нужно проверять отдельно.

Общий порядок ответа в три строки: (1) D(f); (2) f′(x) и решение f′(x)=0; (3) пересечение найденного множества с D(f). В данном практикуме не требуется искать все экстремумы: стационарная точка может и не быть экстремумом, как у x³ при x=0.