Поиск возможных значений выражения для противоположных и соседних чисел — самостоятельная работа, 6 класс

Самостоятельная работа · 6 класс · 24 задачи трёх уровней. Два числа называют противоположными, если их сумма равна нулю: для x противоположное число y = −x. Число, следующее непосредственно за целым x на координатной прямой, равно z = x + 1. Соседние целые числа отличаются ровно на единицу, в том числе в отрицательной части прямой: после −3 следует −2.

Метод без лишних вычислений

Если известен список допустимых x, сначала для каждого x постройте тройку (x, −x, x + 1). Затем вычисляйте именно указанное выражение E и выписывайте все разные результаты. Например, при x = −2 получаем y = 2 и z = −1. Значит, E = z − y = −1 − 2 = −3. При x = 2, напротив, y = −2 и z = 3, так что E = 5. Знак перед отрицательным множителем или вычитаемым особенно важен.

Не спутайте понятия: противоположное число не обязательно соседнее. Для числа 4 противоположное −4 находится далеко на прямой, а следующее соседнее число — 5. При x = 0 противоположное тоже 0, но соседнее справа — 1. В задачах ниже y и z имеют фиксированные значения после выбора x, поэтому перебор всегда конечен.

Уровень I — узнаём противоположные и соседние числа

В первых семи заданиях удобно делать таблицу из четырёх столбцов: x, y, z, E. Проверяйте каждую строку двумя равенствами x + y = 0 и z − x = 1.

1. Пусть x выбирают из {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = |x| + |y|.
2. Пусть x выбирают из {−4, −2, 0, 2, 4}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = x · y.
3. Пусть x выбирают из {−3, −1, 1, 3}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = z − y.
4. Пусть x выбирают из {−2, −1, 0, 1, 2}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = |z| − |y|.
5. Пусть x выбирают из {−5, −4, −3, −2}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = x · z.
6. Пусть x выбирают из {0, 1, 2, 3, 4}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = y · z.
7. Пусть x выбирают из {−4, −1, 0, 2, 5}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = |x − z| + |y|.

Уровень II — добавляем произведения и модули

Обратите внимание на порядок действий: сначала расставьте значения переменных, затем умножайте, складывайте и берите модуль. Например, при x = −3 произведение x · (x + 1) положительно: (−3) · (−2) = 6. Знак нельзя определить по знаку одного множителя.

8. Пусть x выбирают из {−6, −3, 0, 3, 6}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = |z| + |y|.
9. Пусть x выбирают из {−2, −1, 0, 1, 2, 3}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = x + y + z.
10. Пусть x выбирают из {−5, −3, −1, 1, 3, 5}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = z · y − x.
11. Пусть x выбирают из {−4, −3, −2, −1, 0, 1}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = |x| + |y|.
12. Пусть x выбирают из {−3, −2, 1, 2, 3}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = z − y.
13. Пусть x выбирают из {−7, −4, −1, 2, 5}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = x · z.
14. Пусть x выбирают из {−6, −2, 0, 4, 6}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = y · z.
15. Пусть x выбирают из {−5, −4, −3, 0, 3}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = |x − z| + |y|.
16. Пусть x выбирают из {−3, −2, −1, 2, 4}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = |z| + |y|.

Уровень III — многозвенные выражения

Для каждого возможного x сначала найдите тройку, затем подставьте все три числа в одну формулу. Если несколько x приводят к одному значению E, оставьте это значение в ответе только один раз и приведите два разных примера подходящих x.

17. Пусть x выбирают из {−4, −2, 0, 2, 4}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = x + y + z.
18. Пусть x выбирают из {−5, −3, −1, 1, 3}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = z · y − x.
19. Пусть x выбирают из {−6, −3, −2, 2, 3, 6}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = x · y.
20. Пусть x выбирают из {−7, −5, −2, 0, 3}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = |z| − |y|.
21. Пусть x выбирают из {−4, −1, 2, 5, 7}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = x · z.
22. Пусть x выбирают из {−5, −2, 1, 3, 6}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = |z| + |y|.
23. Пусть x выбирают из {−8, −4, 0, 4, 8}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = x + y + z.
24. Пусть x выбирают из {−3, −1, 0, 2, 5}, y — число, противоположное x, а z — целое число, следующее сразу за x. Найдите все возможные значения E = z · y − x.

Разбор ответов: уровень I

1. 1. Подстановка x→E: −3→6; −2→4; −1→2; 0→0; 1→2; 2→4; 3→6. Значения: {0, 2, 4, 6}. Например, x=−3 ⇒ y=3, z=−2, E=6.
2. 2. Подстановка x→E: −4→−16; −2→−4; 0→0; 2→−4; 4→−16. Значения: {−16, −4, 0}.
3. 3. Подстановка x→E: −3→−5; −1→−1; 1→3; 3→7. Значения: {−5, −1, 3, 7}.
4. 4. Подстановка x→E: −2→−1; −1→−1; 0→1; 1→1; 2→1. Значения: {−1, 1}.
5. 5. Подстановка x→E: −5→20; −4→12; −3→6; −2→2. Значения: {2, 6, 12, 20}.
6. 6. Подстановка x→E: 0→0; 1→−2; 2→−6; 3→−12; 4→−20. Значения: {−20, −12, −6, −2, 0}.
7. 7. Подстановка x→E: −4→5; −1→2; 0→1; 2→3; 5→6. Значения: {1, 2, 3, 5, 6}.

Разбор ответов: уровень II

8. 8. Подстановка x→E: −6→11; −3→5; 0→1; 3→7; 6→13. Значения: {1, 5, 7, 11, 13}.
9. 9. Подстановка x→E: −2→−1; −1→0; 0→1; 1→2; 2→3; 3→4. Значения: {−1, 0, 1, 2, 3, 4}. Например, x=−2 ⇒ y=2, z=−1, E=−1.
10. 10. Подстановка x→E: −5→−15; −3→−3; −1→1; 1→−3; 3→−15; 5→−35. Значения: {−35, −15, −3, 1}.
11. 11. Подстановка x→E: −4→8; −3→6; −2→4; −1→2; 0→0; 1→2. Значения: {0, 2, 4, 6, 8}.
12. 12. Подстановка x→E: −3→−5; −2→−3; 1→3; 2→5; 3→7. Значения: {−5, −3, 3, 5, 7}.
13. 13. Подстановка x→E: −7→42; −4→12; −1→0; 2→6; 5→30. Значения: {0, 6, 12, 30, 42}.
14. 14. Подстановка x→E: −6→−30; −2→−2; 0→0; 4→−20; 6→−42. Значения: {−42, −30, −20, −2, 0}.
15. 15. Подстановка x→E: −5→6; −4→5; −3→4; 0→1; 3→4. Значения: {1, 4, 5, 6}.
16. 16. Подстановка x→E: −3→5; −2→3; −1→1; 2→5; 4→9. Значения: {1, 3, 5, 9}.

Разбор ответов: уровень III

17. 17. Подстановка x→E: −4→−3; −2→−1; 0→1; 2→3; 4→5. Значения: {−3, −1, 1, 3, 5}.
18. 18. Подстановка x→E: −5→−15; −3→−3; −1→1; 1→−3; 3→−15. Значения: {−15, −3, 1}. Например, x=−5 ⇒ y=5, z=−4, E=−15.
19. 19. Подстановка x→E: −6→−36; −3→−9; −2→−4; 2→−4; 3→−9; 6→−36. Значения: {−36, −9, −4}.
20. 20. Подстановка x→E: −7→−1; −5→−1; −2→−1; 0→1; 3→1. Значения: {−1, 1}.
21. 21. Подстановка x→E: −4→12; −1→0; 2→6; 5→30; 7→56. Значения: {0, 6, 12, 30, 56}.
22. 22. Подстановка x→E: −5→9; −2→3; 1→3; 3→7; 6→13. Значения: {3, 7, 9, 13}.
23. 23. Подстановка x→E: −8→−7; −4→−3; 0→1; 4→5; 8→9. Значения: {−7, −3, 1, 5, 9}.
24. 24. Подстановка x→E: −3→−3; −1→1; 0→0; 2→−8; 5→−35. Значения: {−35, −8, −3, 0, 1}.

Самопроверка сложных случаев

Здесь полезны два математических инварианта. Для противоположных x и y обязательно x + y = 0. Для соседних x и z обязательно z − x = 1. Если в вашей таблице нарушилось хотя бы одно равенство, дальнейшие значения E нужно пересчитать: ошибка возникла до подстановки.

Проверяйте ещё и чётность произведения соседних целых чисел x(x + 1): одно из двух соседних всегда чётное, поэтому их произведение чётно. Значит, если по заданию E = x · z и вы получили нечётное число, в решении ошибка. Также полезно заметить, что |x| + |−x| = 2|x| — всегда неотрицательное чётное число.

Когда выражение содержит модуль, не удаляйте вертикальные черты раньше времени. Например, |x + 1| − |−x| может быть отрицательным, потому что это разность двух неотрицательных величин. Убедитесь, что вычислили оба модуля, и лишь затем вычтите.

Критерий выполнения: перечислены все допустимые x, правильно найдены противоположные и соседние числа, выполнены действия со знаками и в итоговом ответе нет повторений. Такая последовательность важнее скорости перебора.