Поиск возможных значений выражения при нескольких модулях в условии — задания с разбором, 6 класс

Исследовательское занятие для 6 класса · 14 задач. Здесь две записи с модулями выступают одновременно действующими ограничениями для целого x. Нельзя выполнить только первое условие, игнорируя второе: искомые значения выражения получаются лишь на пересечении найденных наборов x.

Задача-наблюдение

Пусть целое x лежит между −10 и 10. Из условия |x + 2| ≤ 4 следует, что расстояние от x до −2 не превышает 4. Возможны целые x от −6 до 2. Второе условие |x − 1| ≥ 2 означает расстояние от x до 1 не меньше двух единиц: x ≤ −1 либо x ≥ 3. Пересечение обоих множеств — −6, −5, −4, −3, −2, −1. Для E = |x| получим набор значений 1, 2, 3, 4, 5, 6. Обратите внимание: разрешённые координаты и возможные значения выражения — разные множества.

На горизонтальной числовой прямой удобно закрашивать первое условие одним цветом, второе — другим и оставлять лишь общие точки. Так проще обнаружить ситуацию, когда каждое условие по отдельности выполнимо, но вместе решения отсутствуют. Запись |x − a| = d при d > 0 означает ровно две точки a − d и a + d; при d = 0 — только a.

Самостоятельно сформулируйте правило

Исследуйте разницу между словами «и» и «или»: при «и» надо пересечь списки кандидатов, при «или» — объединить. Объясните, почему |x − 3| ≤ 2 допускает только положительные x от 1 до 5, а |x + 3| ≤ 2 — только отрицательные x от −5 до −1. Модуль выражает расстояние, но не меняет знак самой переменной.

Контрпример к поспешному выводу

Ученик объявил: «Если |x − 2| ≤ 4 и |x + 1| ≥ 3, то нужно взять все числа от −2 до 6». Это неверно: x = 0 проходит первое условие, но |0 + 1| = 1 < 3. И наоборот, x = 6 подходит первому и второму условию. Следовательно, ограничение вторым модулем нельзя опустить. При вычислениях обязательно подставляйте найденные x в исходные неравенства.

Исследовательские карточки

Во всех четырнадцати заданиях x — целое число от −10 до 10 включительно. Начните с решения каждого ограничения по отдельности, затем найдите пересечение и только после этого вычисляйте значения E. Если два x дают одинаковое E, записывайте значение в итоговом множестве один раз.

1. 1. Целое x от −10 до 10 удовлетворяет одновременно: |x + 2| ≤ 4; |x − 1| ≥ 2. Какие значения принимает E = |x − 0|?
2. 2. Целое x от −10 до 10 удовлетворяет одновременно: |x − 3| ≤ 5; |x + 1| ≤ 3. Какие значения принимает E = x + |x − 2|?
3. 3. Целое x от −10 до 10 удовлетворяет одновременно: |x + 4| ≤ 3; |x − 0| ≥ 2. Какие значения принимает E = |x + 1| − |x|?
4. 4. Целое x от −10 до 10 удовлетворяет одновременно: |x − 0| = 4; |x − 2| ≤ 2. Какие значения принимает E = |x − 0| + |x − 2|?
5. 5. Целое x от −10 до 10 удовлетворяет одновременно: |x + 1| ≤ 4; |x − 3| ≥ 1. Какие значения принимает E = |x − 1| + 2x?
6. 6. Целое x от −10 до 10 удовлетворяет одновременно: |x − 2| ≤ 3; |x + 3| ≤ 5. Какие значения принимает E = |x + 2|?
7. 7. Целое x от −10 до 10 удовлетворяет одновременно: |x + 5| ≤ 5; |x + 2| ≥ 3. Какие значения принимает E = x + |x − 1|?
8. 8. Целое x от −10 до 10 удовлетворяет одновременно: |x − 1| = 2; |x − 4| ≤ 3. Какие значения принимает E = |x − 0| − |x|?
9. 9. Целое x от −10 до 10 удовлетворяет одновременно: |x + 3| ≤ 6; |x − 2| ≥ 2. Какие значения принимает E = |x + 3| + |x − 2|?
10. 10. Целое x от −10 до 10 удовлетворяет одновременно: |x − 4| ≤ 4; |x − 0| ≥ 3. Какие значения принимает E = |x + 2| + 2x?
11. 11. Целое x от −10 до 10 удовлетворяет одновременно: |x + 2| ≤ 3; |x − 3| ≤ 5. Какие значения принимает E = |x − 4|?
12. 12. Целое x от −10 до 10 удовлетворяет одновременно: |x − 0| ≤ 5; |x + 4| ≥ 4. Какие значения принимает E = x + |x + 3|?
13. 13. Целое x от −10 до 10 удовлетворяет одновременно: |x − 2| ≤ 5; |x + 1| ≥ 2. Какие значения принимает E = |x − 2| − |x|?
14. 14. Целое x от −10 до 10 удовлетворяет одновременно: |x + 3| = 3; |x − 1| ≤ 2. Какие значения принимает E = |x − 0| + 2x?

Проверенные ответы с допустимыми x

1. 1. Удовлетворяют обеим границам x = {−6, −5, −4, −3, −2, −1}. Подстановки: x = −6: E = 6; x = −5: E = 5; x = −4: E = 4; x = −3: E = 3; x = −2: E = 2; x = −1: E = 1. Набор значений E: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2. 2. Удовлетворяют обеим границам x = {−2, −1, 0, 1, 2}. Подстановки: x = −2: E = 2; x = −1: E = 2; x = 0: E = 2; x = 1: E = 2; x = 2: E = 2. Набор значений E: {2}.
3. 3. Удовлетворяют обеим границам x = {−7, −6, −5, −4, −3, −2}. Подстановки: x = −7: E = −1; x = −6: E = −1; x = −5: E = −1; x = −4: E = −1; x = −3: E = −1; x = −2: E = −1. Набор значений E: {−1}.
4. 4. Удовлетворяют обеим границам x = {4}. Подстановки: x = 4: E = 6. Набор значений E: {6}.
5. 5. Удовлетворяют обеим границам x = {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2}. Подстановки: x = −5: E = −4; x = −4: E = −3; x = −3: E = −2; x = −2: E = −1; x = −1: E = 0; x = 0: E = 1; x = 1: E = 2; x = 2: E = 5. Набор значений E: {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 5}.
6. 6. Удовлетворяют обеим границам x = {−1, 0, 1, 2}. Подстановки: x = −1: E = 1; x = 0: E = 2; x = 1: E = 3; x = 2: E = 4. Набор значений E: {1, 2, 3, 4}.
7. 7. Удовлетворяют обеим границам x = {−10, −9, −8, −7, −6, −5}. Подстановки: x = −10: E = 1; x = −9: E = 1; x = −8: E = 1; x = −7: E = 1; x = −6: E = 1; x = −5: E = 1. Набор значений E: {1}.
8. 8. Удовлетворяют обеим границам x = {3}. Подстановки: x = 3: E = 0. Набор значений E: {0}.
9. 9. Удовлетворяют обеим границам x = {−9, −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0}. Подстановки: x = −9: E = 17; x = −8: E = 15; x = −7: E = 13; x = −6: E = 11; x = −5: E = 9; x = −4: E = 7; x = −3: E = 5; x = −2: E = 5; x = −1: E = 5; x = 0: E = 5. Набор значений E: {5, 7, 9, 11, 13, 15, 17}.
10. 10. Удовлетворяют обеим границам x = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Подстановки: x = 3: E = 11; x = 4: E = 14; x = 5: E = 17; x = 6: E = 20; x = 7: E = 23; x = 8: E = 26. Набор значений E: {11, 14, 17, 20, 23, 26}.
11. 11. Удовлетворяют обеим границам x = {−2, −1, 0, 1}. Подстановки: x = −2: E = 6; x = −1: E = 5; x = 0: E = 4; x = 1: E = 3. Набор значений E: {3, 4, 5, 6}.
12. 12. Удовлетворяют обеим границам x = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Подстановки: x = 0: E = 3; x = 1: E = 5; x = 2: E = 7; x = 3: E = 9; x = 4: E = 11; x = 5: E = 13. Набор значений E: {3, 5, 7, 9, 11, 13}.
13. 13. Удовлетворяют обеим границам x = {−3, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Подстановки: x = −3: E = 2; x = 1: E = 0; x = 2: E = −2; x = 3: E = −2; x = 4: E = −2; x = 5: E = −2; x = 6: E = −2; x = 7: E = −2. Набор значений E: {−2, 0, 2}.
14. 14. Удовлетворяют обеим границам x = {0}. Подстановки: x = 0: E = 0. Набор значений E: {0}.

Как объяснить ход решения

Сначала найдите область допустимых целых кандидатов из двух модульных условий; затем вычислите E только при них. Например, если одному условию удовлетворяют −2, −1, 0, 1, а второму 0, 1, 2, 3, то совместными кандидатами будут 0 и 1. Даже очень красивый результат для x = −2 не считается ответом, потому что он нарушает второе ограничение.

Разрешено проверить каждое число из короткого конечного диапазона вручную: двадцать одно возможное целое значение от −10 до 10 образует небольшой набор. Но полезнее замечать геометрический смысл каждого модуля как расстояния. Так решение получается быстрее и легче переносится на другие числовые диапазоны.

Проверка контрпримером. Возьмите одну координату, которую разрешает только первое условие, и убедитесь, что она не проходит второе. Затем найдите координату, удовлетворяющую обоим. Это отделяет правильное пересечение от механического копирования одного списка и объясняет смысл нескольких модулей в единой задаче.