Показательное неравенство с заменой переменной — тренажёр по математике, 11 класс

Практическая карточка. Тема: подстановка t = a^x в показательном неравенстве, преобразование квадратного трёхчлена и обратный переход к x. Работа для 11 класса; если основание меньше единицы, направление неравенства при логарифмировании меняется.

Проверка перед стартом

1. Укажите область значений t = 2^x при действительном x.
2. Определите: возрастает ли функция (1/2)^x?
3. Когда произведение (t − 2)(t − 8) неположительно?

Ответ на старт: t > 0; (1/2)^x строго убывает; 2 ≤ t ≤ 8. Без условия t > 0 решение квадратного неравенства ещё не является ответом для исходной переменной.

Мини-тест: 14 различных заданий

Для задач 1–12 сначала положите t = b^x, найдите промежуток t, затем вернитесь к x. Во всех примерах x — действительное число; скобки обозначают строгое неравенство, квадратные скобки включают границу.

1. ( 2^x − 1 ) · ( 2^x − 4 ) ≤ 0; запишите ответ для x.
2. ( 3^x − 1 ) · ( 3^x − 3 ) > 0; запишите ответ для x.
3. (2^x)² − (2 + 16)·2^x + (2 · 16) < 0; запишите ответ для x.
4. ( 2^x − 1/2 ) · ( 2^x − 2 ) ≥ 0; запишите ответ для x.
5. ( 3^x − 1/3 ) · ( 3^x − 3 ) ≤ 0; запишите ответ для x.
6. (4^x)² − (1 + 16)·4^x + (1 · 16) > 0; запишите ответ для x.
7. ( 2^x − 4 ) · ( 2^x − 8 ) ≥ 0; запишите ответ для x.
8. ( 3^x − 3 ) · ( 3^x − 9 ) < 0; запишите ответ для x.
9. (5^x)² − (1 + 5)·5^x + (1 · 5) ≤ 0; запишите ответ для x.
10. ( 2^x − 1/4 ) · ( 2^x − 1 ) > 0; запишите ответ для x.
11. ( 3^x − 1 ) · ( 3^x − 9 ) ≥ 0; запишите ответ для x.
12. (2^x)² − (1 + 8)·2^x + (1 · 8) < 0; запишите ответ для x.
13. Выберите верный ответ для (2^x−1)(2^x−4) < 0: А) 0 < x < 2; Б) x < 0 или x > 2; В) 0 ≤ x ≤ 2. Объясните выбор.
14. Решите ((1/2)^x−1/2)((1/2)^x−1/8) ≥ 0 и объясните, почему порядок промежутков меняется.

Лист ответов и самопроверка

Почему ответы именно такие

1. 0 ≤ x ≤ 2. Подстановка t = 2^x даёт корни t = 1 и t = 4; знак произведения определяется промежутками, а функция 2^x возрастает.
2. x < 0 или x > 1. Подстановка t = 3^x даёт корни t = 1 и t = 3; знак произведения определяется промежутками, а функция 3^x возрастает.
3. 1 < x < 4. Подстановка t = 2^x даёт корни t = 2 и t = 16; знак произведения определяется промежутками, а функция 2^x возрастает.
4. x ≤ −1 или x ≥ 1. Подстановка t = 2^x даёт корни t = 1/2 и t = 2; знак произведения определяется промежутками, а функция 2^x возрастает.
5. −1 ≤ x ≤ 1. Подстановка t = 3^x даёт корни t = 1/3 и t = 3; знак произведения определяется промежутками, а функция 3^x возрастает.
6. x < 0 или x > 2. Подстановка t = 4^x даёт корни t = 1 и t = 16; знак произведения определяется промежутками, а функция 4^x возрастает.
7. x ≤ 2 или x ≥ 3. Подстановка t = 2^x даёт корни t = 4 и t = 8; знак произведения определяется промежутками, а функция 2^x возрастает.
8. 1 < x < 2. Подстановка t = 3^x даёт корни t = 3 и t = 9; знак произведения определяется промежутками, а функция 3^x возрастает.
9. 0 ≤ x ≤ 1. Подстановка t = 5^x даёт корни t = 1 и t = 5; знак произведения определяется промежутками, а функция 5^x возрастает.
10. x < −2 или x > 0. Подстановка t = 2^x даёт корни t = 1/4 и t = 1; знак произведения определяется промежутками, а функция 2^x возрастает.
11. x ≤ 0 или x ≥ 2. Подстановка t = 3^x даёт корни t = 1 и t = 9; знак произведения определяется промежутками, а функция 3^x возрастает.
12. 0 < x < 3. Подстановка t = 2^x даёт корни t = 1 и t = 8; знак произведения определяется промежутками, а функция 2^x возрастает.
13. А: 1 < 2^x < 4 означает 0 < x < 2. Б соответствует положительному произведению, В неверно включает нули при строгом знаке.
14. x ≤ 1 или x ≥ 3. При t=(1/2)^x и t > 0 произведение неотрицательно при t ≤ 1/8 либо t ≥ 1/2. Так как (1/2)^x убывает, t ≤ (1/2)³ даёт x ≥ 3, а t ≥ (1/2)¹ даёт x ≤ 1.

Три частые ошибки и как их заметить

• Забыли t > 0. Если корень вспомогательного квадратного уравнения отрицателен, он не может быть равен a^x при a > 0.
• Потеряли крайние точки. При знаке ≤ или ≥ точка равенства включается, при < и > — исключается.
• Не учли убывание (1/2)^x. При возвращении от t к x порядок границ разворачивается.

Критерий: за каждый правильный промежуток — 1 балл; за правильное объяснение метода в задаче 14 — дополнительный балл. В ответе допускаются интервалы или равносильные логические условия. Промежутки относятся к действительным x.