Показательные неравенства с приведением к общей степени для 10 класса — упражнения с разбором

Кейс: две условные модели роста объёма хранилищ. Время t измеряется в месяцах, объём — в ГиБ. Обе модели математические и не являются прогнозом работы реального устройства. Сравнение сводится к степеням одного положительного основания: если основание больше 1, знак между показателями сохраняется; если оно от 0 до 1, знак меняется.

Исходные данные и проверочная таблица

Модель A: A(t)=4·2^t ГиБ. Модель B: B(t)=16·(√2)^t ГиБ. По условию t≥0, а если спрашивают целый месяц, t — целое неотрицательное.

Математическая модель: выведи порог

Условие A(t) > B(t) означает 4·2^t > 16·(√2)^t. Запишем всё с основанием 2: 2^(t+2) > 2^(4+t/2), следовательно t+2 > 4+t/2 и t>4. Это верно на допустимой области t≥0. Для целого числа месяцев первый подходящий момент — t=5. Равенство случается в t=4, поэтому знак «строго больше» не разрешает включить эту точку.

Связанные задачи по кейсу

1. Докажи по степеням, что при t=4 обе модели дают одинаковый объём, и укажи этот объём с единицами.
2. Для каких действительных t≥0 выполняется A(t)≥B(t)?
3. Найди все целые неотрицательные t, при которых A(t)<B(t).
4. В какой первый целый месяц A(t) превышает B(t)? Объясни, почему не подходит t=4.

Дополнительный кейс: проверка при другом основании

Третья условная пара: C(t)=8·4^t ГиБ, D(t)=32·2^t ГиБ; t — целое неотрицательное число месяцев. Сравнение C(t)≥D(t) даёт 2^(3+2t)≥2^(5+t), поэтому t≥2. Здесь ответ — месяцы начиная со второго, а при t=2 объёмы равны 128 ГиБ.

12 вычислительных и объяснительных заданий

Решай на R, если в условии не оговорено другое. Обязательно раскрой одинаковое основание и укажи, почему знак сохранился либо изменился.

1. 8^x > 4^(x+1)
2. (1/4)^(x−1) > 2^(3x)
3. (1/3)^x < (1/9)^(x+1)
4. 16^(x/2) ≥ 8^(x−1)
5. (1/2)^(x+3) ≤ 4^(1−x)
6. 9^(x−1) > 27^(x/3)
7. 25^(x/2) ≤ 5^(2x+3)
8. (1/8)^(x+1) ≥ 4^(−x)
9. 2^(x²) > 4^x
10. 4^(x²−1) ≥ 8^x
11. (1/16)^x < (1/4)^(x−2)
12. 8^(x+1) ≤ 16^(x−1)

Ответы к кейсам с единицами

1. При t=4: A=4·16=64 ГиБ, B=16·4=64 ГиБ. Единицы обеих величин совпадают.
2. A≥B ⇔ t≥4 при t≥0. При t=4 выполняется равенство, потому граница включена.
3. A<B ⇔ t<4. Для целых t≥0 подходят t=0,1,2,3.
4. Наименьшее целое t>4 равно 5. При t=4 разности нет.

Ключ к степенным неравенствам

Проверка исходных данных и допустимости

В исходной таблице нельзя складывать или вычитать числа без единиц: значения A и B указаны в ГиБ. Время t по смыслу модели неотрицательно, но отдельные алгебраические упражнения решаются на всей R, поэтому отрицательные x в № 2–3, 7–11 допустимы. Для оснований 1/4, 1/3 и 1/8 мы намеренно переводим выражения к 2 или 3, которые больше единицы: после такого перехода сравниваем показатели без автоматического изменения знака. Если сравнивать степени сразу с основанием 1/3, знак надо перевернуть.

Критерий самопроверки: 1 балл за правильное приведение оснований, 1 за решение линейного или квадратного неравенства, 1 за строгие и нестрогие границы. У кейсов отдельное требование — указать единицы, целочисленность времени там, где она задана, и проверить контрольную строку таблицы.

Два метода решения — сравни их

Первый метод: заменить разные основания степенями 2 или 3 и сравнить показатели. Это удобнее всего, когда основания равны 4, 8, 16 и их обратным величинам. Второй метод: привести к основанию меньше единицы, например 8^x > 4^(x+1) превратить в (1/2)^(3x) < (1/2)^(2x+2). Здесь знак меняется, потому что функция (1/2)^u убывает. Оба метода приводят к одному ответу x>2.

При работе с таблицей избегай смешения единиц. Если сравнивают вместимости, обе величины должны быть выражены, например, в ГиБ. Если бы объём одной модели был в МиБ, прежде нужно было бы перевести его: 1 ГиБ=1024 МиБ. В этой карточке таблица уже использует единые единицы, поэтому сравнивать числа разрешено непосредственно.

Отдельная проверка условий на переменную

Для реального t≥0 решения t>4, t≥4 и t<4 превращаются соответственно в (4;+∞), [4;+∞) и [0;4). Для целых месяцев третье условие даёт ровно четыре значения 0,1,2,3, а первое — бесконечный набор 5,6,7,… . Не называй t=4 «первым месяцем превышения» — это месяц равенства.

Для квадратичных показателей из № 9–10 не следует сокращать x² до x: показатели могут принимать произвольные действительные значения. В № 9 получаем знак произведения x(x−2), поэтому два луча; в № 10 получается парабола с нулями −1/2 и 2. Открытые и закрытые скобки у нулей зависят от знака неравенства.

Проверка № 8 контрольными точками: при x=−4 имеем показатели −3(x+1)=9 и −2x=8; левая степень больше правой, значит x=−4 подходит. При x=0 показатели −3 и 0, левая степень меньше; x=0 не подходит. Это подтверждает направление x≤−3.