Показательные системы уравнений с заменой переменных — проверочная работа, 10 класс

Цель: по двум показательным равенствам ввести новые положительные переменные, решить обычную систему и вернуться к показателям степени. Эта проверочная отличается от решения одного показательного уравнения заменой: здесь одновременно находятся две неизвестные.

Стартовая диагностика

Перед работой ответьте устно: почему 2^x всегда больше нуля? Чему равны 2³ и 3²? Можно ли получить 2^y = −4 при действительном y? Это три опорных факта для проверки допустимости новых переменных.

Если обозначить u = 2^x и v = 2^y, то обязательно u > 0 и v > 0. После решения линейной системы находим x = log₂u, y = log₂v. Если u или v неположительны, исходная система действительных решений не имеет.

Разобранный образец

Система: 2^x + 2^y = 12; 2^x − 2^y = 4. После замены u + v = 12, u − v = 4. Складываем: 2u = 16, u = 8; затем v = 4. Оба положительны, поэтому x = 3, y = 2. Проверка: 8 + 4 = 12 и 8 − 4 = 4.

Мини-тест: выбрать, вычислить, объяснить

В заданиях 1–3 выберите ответ; в 4–11 вычислите пару (x; y); в 12–14 объясните допустимость и проверьте вывод. Порядок переменных во всех ответах важен.

1. При u = 3^x верно: А) u ≥ 0; Б) u > 0; В) u может быть отрицательным. Выберите наиболее точное условие.
2. В системе u + v = 13, u − v = 5 найдите u: А) 4; Б) 9; В) 18.
3. Может ли система 2^x + 2^y = 0 иметь действительное решение? А) да; Б) нет.
4. 3^x + 3^y = 30; 3^x − 3^y = 24.
5. 5^x + 5^y = 30; 5^x − 5^y = 20.
6. 2^x + 2^y = 10; 2^x = 4 · 2^y.
7. 2^x + 2^y = 8; 2^x − 2^y = 0.
8. 4^x + 2^y = 20; 4^x − 2^y = 12.
9. 2^x + 2^y = 15; 2^x − 2^y = 1.
10. 2^x + 2^y = 9; 2^x − 2^y = −1.
11. 2^x + 2^y = 9; 2^x − 2^y = 3.
12. Для системы 2^x + 2^y = 4; 2^x − 2^y = 6 найдите u и v. Почему нельзя принять найденную пару как ответ?
13. В системе 2^x + 2^y = 16; 2^x = 3 · 2^y обязательно ли x и y целые? Объясните.
14. Ученик получил u = 0, v = 6 после замены u = 3^x. Где ошибка, если он записал x = 0?

Как организовать самопроверку

Отмечайте знак каждого промежуточного значения u и v: он важнее красивого целого показателя. Задания 4, 5 и 8 содержат целочисленные показатели и позволяют быстро убедиться в правильности замены. В заданиях 9–11 появятся точные логарифмические ответы. Их не нужно переводить в десятичные дроби: такой переход создал бы погрешность при обратной подстановке.

Чтобы проверить решение, не подставляйте найденные значения только в преобразованную линейную систему. Вернитесь к изначальным степеням: вычислите 2^x, 2^y либо значения с другими основаниями и проверьте оба исходных равенства. Для задания 12 объяснение отсутствия решений является полноценным ответом; попытка вычислить логарифм отрицательного числа ошибочна.

Лист ответов и короткие проверки

Для задания 10 способ проверки удобно записать целиком: сначала u = (9 − 1)/2 = 4, v = (9 + 1)/2 = 5. Затем 2^x = 4, поэтому x = 2, а 2^y = 5, поэтому y = log₂5. Подставляем в первое равенство: 4 + 5 = 9; во второе: 4 − 5 = −1. В решении сохранён порядок x и y: перестановка нарушила бы второе равенство.

Задания 12 и 14 специально проверяют разные случаи: в первом после замены возникает отрицательная переменная, а во втором — нулевое значение. Обе ситуации недопустимы по одной причине: ни при каком действительном показателе положительное основание степени не даёт число, меньшее или равное нулю.

Три частые ошибки

Ошибка 1. После замены не проверяют u > 0, v > 0. Отрицательная или нулевая переменная может решить формальную линейную систему, но не исходную показательную.

Ошибка 2. Считают log₂7 недопустимым ответом. Показатель x может быть любым действительным числом; точная запись логарифмом корректна.

Ошибка 3. Путают 4^x и 2^x: в задании 8 значение u = 16 означает x = 2, а не x = 4. Обязательно возвращайтесь к исходному основанию.

Самопроверка: за ответы 1–3 по одному баллу, за 4–11 по два, за 12–14 по два. Максимум 25 баллов; для зачёта желательно объяснить каждое исключение, а не только записать число.