Положительный и отрицательный наклон прямой по реальным данным: примеры и объяснения для 7 класса

На измерениях знак наклона отвечает на конкретный вопрос: росла или снижалась измеряемая величина, когда аргумент увеличивался? Здесь главное — интерпретировать знак по настоящим числам в таблице, а не просто произнести «прямая идёт вверх». Данные учебные, но единицы и ситуации реалистичны.

Три разбора по шагам

1. Температура. В 8:00 термометр показывал −4 °C, в 12:00 — 2 °C. Приращение +6 °C за 4 часа даёт k = +1,5 °C/ч: на этом промежутке температура повышалась.
2. Масса запаса. В начале смены было 44 кг, через 5 часов осталось 29 кг. k = (29−44)/5 = −3 кг/ч: запас убывал; отрицательный знак не означает отрицательную массу.
3. Цена товара. На протяжении двух недель цена составляла 850 тенге. k = 0: изменения не было; утверждать «цена росла» нельзя.

Угловой коэффициент k = (y₂−y₁)/(x₂−x₁). Для двух наблюдений с разными x он характеризует наклон отрезка, соединяющего точки. Но две точки не доказывают, что процесс был равномерным между измерениями.

Работа с данными: 14 заданий

Часть I — два замера

1. Освещённость: часы 2 → 5; 180 → 450 лк. Определите знак k, вычислите его и опишите изменение.
2. Высота воды: мин 0 → 6; 36 → 21 см. Определите знак k, вычислите его и опишите изменение.
3. Вес урожая: дни 1 → 4; 120 → 120 кг. Определите знак k, вычислите его и опишите изменение.
4. Температура: часы 3 → 7; -7 → -1 °C. Определите знак k, вычислите его и опишите изменение.
5. Заряд аккумулятора: часы 0 → 3; 78 → 42 %. Определите знак k, вычислите его и опишите изменение.
6. Стоимость поездки: км 2 → 6; 950 → 1550 тенге. Определите знак k, вычислите его и опишите изменение.
7. Количество воды: мин 4 → 9; 62 → 47 л. Определите знак k, вычислите его и опишите изменение.
8. Высота растения: недели 1 → 5; 8 → 20 см. Определите знак k, вычислите его и опишите изменение.

Часть II — на одном графике бывает несколько наклонов

9. Уровень бака (л) по минутам: 0 → 30; 2 → 42; 5 → 42. Определите знак наклона на каждом из двух отрезков. Можно ли назвать всю ломаную одним прямолинейным участком?
10. Температура (°C) по часам: 6 → -2; 8 → 1; 11 → -5. Определите знак наклона на каждом из двух отрезков. Можно ли назвать всю ломаную одним прямолинейным участком?
11. Расстояние до дома (м) по минутам: 0 → 600; 4 → 400; 10 → 100. Определите знак наклона на каждом из двух отрезков. Можно ли назвать всю ломаную одним прямолинейным участком?
12. Объём накопителя (ГБ) по дням: 1 → 50; 3 → 50; 7 → 68. Определите знак наклона на каждом из двух отрезков. Можно ли назвать всю ломаную одним прямолинейным участком?

Часть III — проверьте объяснение, а не только знак

13. Влажность упала с 70% до 64% за два часа. Ученик утверждает: «k = +3, потому что 70 больше 64». Исправьте и поясните смысл знака.
14. Пробег автомобиля на одометре увеличился с 12 400 до 12 450 км за час. Можно ли из этих двух показаний утверждать, что автомобиль ехал всё время со скоростью 50 км/ч? Какой знак у среднего наклона?

Ответы и комментарии

1. k = (450−(180))/(5−2) = 90 лк/часы; наклон положительный, величина росла.
2. k = (21−(36))/(6−0) = -5/2 см/мин; наклон отрицательный, величина снижалась.
3. k = (120−(120))/(4−1) = 0 кг/дни; наклон нулевой, величина не изменялась.
4. k = (-1−(-7))/(7−3) = 3/2 °C/часы; наклон положительный, величина росла.
5. k = (42−(78))/(3−0) = -12 %/часы; наклон отрицательный, величина снижалась.
6. k = (1550−(950))/(6−2) = 150 тенге/км; наклон положительный, величина росла.
7. k = (47−(62))/(9−4) = -3 л/мин; наклон отрицательный, величина снижалась.
8. k = (20−(8))/(5−1) = 3 см/недели; наклон положительный, величина росла.
9. Первый отрезок: k=6 (рост); второй: k=0 (остановка изменения). Значения k различаются, поэтому одна прямая все три точки не описывает.
10. Первый отрезок: k=3/2 (рост); второй: k=-2 (снижение). Значения k различаются, поэтому одна прямая все три точки не описывает.
11. Первый отрезок: k=-50 (снижение); второй: k=-50 (снижение). Значения k различаются, поэтому одна прямая все три точки не описывает.
12. Первый отрезок: k=0 (остановка изменения); второй: k=9/2 (рост). Значения k различаются, поэтому одна прямая все три точки не описывает.
13. k = (64−70)/2 = −3 процентных пункта в час. Влажность уменьшилась; порядок вычитания перевёрнут в ответе ученика.
14. k = +50 км/ч — положительный средний наклон. Постоянную мгновенную скорость из двух отсчётов определить нельзя: возможны остановки и разгоны.

Вывод исследования

Знак k относится к выбранным осям и к конкретному интервалу. Если x — время, положительный наклон означает рост наблюдаемой y, отрицательный — спад, нулевой — отсутствие изменения. Если y — расстояние до дома, отрицательный наклон означает приближение к дому, а не «движение с отрицательной скоростью».

Практические вопросы для обсуждения

Почему нельзя определить знак по одному значению y? Само число 120 кг не говорит, увеличился запас или сократился. Нужны минимум два наблюдения с известными значениями аргумента. Точно так же отрицательная температура −7 °C не означает отрицательный наклон: при переходе от −7 до −1 °C температура увеличивается, следовательно наклон положительный.

Почему важен порядок времени? Измерения могут быть записаны в таблице в обратной последовательности: сначала поздний отсчёт, затем ранний. Сами правильные значения k не меняются, если одновременно поменять местами обе пары: (y₁−y₂)/(x₁−x₂) даёт тот же результат. Ошибка возникает, когда изменён порядок только в одной разности.

На трёх отсчётах изменение не обязано происходить с постоянной скоростью. Например, уровень резервуара из задания 9 сначала рос, а потом не изменялся. Поэтому нельзя описать весь промежуток одним коэффициентом, даже если первая и последняя точки показывают прирост. В практической работе полезно отмечать знак наклона отдельно для каждого отрезка ломаной.

Ещё одна ловушка — смысл измеряемой величины. Если расстояние до дома сокращается, знак k отрицателен, но человек может двигаться быстрее или медленнее. Знак здесь показывает лишь направление изменения расстояния, а скорость движения по модулю вычисляют по абсолютной величине наклона, если расстояние задано вдоль прямого маршрута.

Четырёхшаговая проверка: прочитайте названия двух осей; выберите раннее и позднее измерения; вычислите разность y и разделите на положительный промежуток x; сформулируйте вывод обычными словами. Такой порядок защищает от смешения «отрицательного значения» и «отрицательного изменения».