Понижение степени косинуса в тригонометрических выражениях — практикум с ответами для 10 класса

Формула для квадрата косинуса

От тождества cos2x=2cos²x−1 получаем cos²x=(1+cos2x)/2. В отличие от квадрата синуса здесь стоит знак «плюс». Формула полезна, когда выражение содержит степени, а нужно получить косинусы кратных углов или точные значения по таблице.

Справочная таблица значений

В таблице каждое значение удовлетворяет проверке 2cos²x−1=cos2x. Например, при x=30° получаем 2·3/4−1=1/2, что равно cos60°. Эти опорные значения помогут контролировать знаки и коэффициенты.

Практикум: от простых преобразований к проверке тождества

Сначала выполняйте задания 1–6 на преобразование; затем 7–10 на точные вычисления; далее 11–17 на применение формулы в обратном направлении. При равенствах с буквами предполагаются любые действительные аргументы — дополнительное ОДЗ не требуется.

1. Преобразуйте cos²(4t).
2. Преобразуйте cos²(t/3).
3. Упростите 2cos²t−1.
4. Упростите 4cos²t−2.
5. Представьте 3cos²t как A+Bcos2t.
6. Понизьте степень cos⁴t.
7. Вычислите cos²15°.
8. Вычислите cos²75°.
9. Вычислите cos²22,5°.
10. Вычислите cos²67,5°.
11. Выразите cos²x−1/2 через cos2x.
12. Упростите 2cos²x+1.
13. Представьте cos²α+cos²β через cos2α и cos2β.
14. Чему равно 8cos⁴t−8cos²t+1?
15. Найдите cos²x, если cos2x=−3/5.
16. Найдите cos2x, если cos²x=7/10.
17. Можно ли считать равенство cos²x=(1−cos2x)/2 верным? Проверьте при x=0°.

Таблица самопроверки: короткий результат

Полные ответы с вычислениями

1. (1+cos8t)/2; удваивается аргумент 4t.
2. (1+cos(2t/3))/2; удваивается аргумент t/3.
3. cos2t по основной формуле.
4. 2cos2t: 4·(1+cos2t)/2−2.
5. 3/2+(3/2)cos2t, поэтому A=B=3/2.
6. (3+4cos2t+cos4t)/8. После возведения в квадрат примените формулу ещё раз к cos²2t.
7. (2+√3)/4, поскольку cos30°=√3/2.
8. (2−√3)/4, поскольку cos150°=−√3/2.
9. (2+√2)/4, поскольку cos45°=√2/2.
10. (2−√2)/4, поскольку cos135°=−√2/2.
11. cos2x/2.
12. 2+cos2x.
13. 1+(cos2α+cos2β)/2.
14. cos4t; это формула косинуса четверного угла.
15. 1/5: (1−3/5)/2=1/5.
16. 2/5: 2·7/10−1=14/10−10/10=2/5.
17. Нет: при x=0° слева 1, справа 0. Для cos² нужен знак «плюс».

Контроль по исходным данным

Если cos2x=−3/5, то cos²x=1/5 — допустимое число из [0;1]. Если при похожем задании вышло отрицательное значение квадрата косинуса, значит нарушен знак или исходное условие. Для степеней 4 и выше важно не прекращать понижение после первой подстановки: квадрат cos2x также надо устранить, если требуется выражение без квадратов тригонометрических функций.

Как получить формулу для четвёртой степени

Возведите cos²t=(1+cos2t)/2 в квадрат: cos⁴t=(1+2cos2t+cos²2t)/4. Затем примените то же правило к cos²2t: оно равно (1+cos4t)/2. Итог — (3+4cos2t+cos4t)/8. Здесь, в отличие от sin⁴t, коэффициент перед cos2t положителен. Именно этот знак чаще всего путают при списывании формул. Проверка t=0°: справа (3+4+1)/8=1, слева cos⁴0°=1. При t=90°: (3−4+1)/8=0, слева тоже 0.

Обратный ход и оценка результата

При известном cos2x можно найти квадрат косинуса без определения самого x. Например, в упражнении 15 cos2x=−3/5; сразу выходит cos²x=1/5. Но восстановить cosx по этому числу без информации о четверти нельзя: возможны значения +1/√5 и −1/√5. Само понижение степени не решает эту неоднозначность, так как при возведении в квадрат знак исчезает.

Обратная задача устроена иначе: из cos²x=7/10 однозначно вычисляется cos2x=2·7/10−1=2/5. Полезно не путать эту однозначность с поиском самого угла: разные углы могут иметь одинаковые значения cos²x. При проверке задач с квадратом косинуса помните о границах 0≤cos²x≤1.