Пошаговое доказательство равенства треугольников по рисунку — задания на закрепление, 7 класс

Закрепление, 7 класс. Ниже четыре условных чертежа. Все линии и буквенные обозначения даны для ориентира, рисунки не выполнены в масштабе. Используйте только записанные под ними геометрические факты: иногда равенства следуют из свойства общих сторон, вертикальных углов или параллельных прямых.

Пять шагов строгого доказательства

Рисунок A. Два треугольника по разные стороны AC

       B
      / 
     /   
    A-----C
        /
       /
       D

Дано: AB=AD; ∠BAC=∠CAD; AC — общая сторона. Даны именно эти отметки, не измеренные по картинке расстояния.

1. Подпишите пару треугольников, которые нужно сравнить. Ответ: ____________________
2. Перечислите три нужных элемента для признака. Ответ: ____________________
3. Докажите равенство BC и DC. Ответ: ____________________
4. Если BC=17 см, найдите CD и объясните, откуда следует равенство. Ответ: ____________________

Рисунок Б. Две пересекающиеся прямые

    C
     
A-----O-----B
        
         D

Дано: A–O–B и C–O–D — прямые; AO=OB, CO=OD. Угол AOC и BOD вертикальны.

1. Запишите два равных угла, которые не нужно отмечать дополнительно. Ответ: ____________________
2. Назовите признак и сравните ∆AOC и ∆BOD. Ответ: ____________________
3. Докажите, что AC и BD равны. Ответ: ____________________
4. Если ∠OAC=38°, чему равен ∠OBD? Ответ: ____________________

Рисунок В. Равнобедренный треугольник с медианой

       A
      /|
     / | 
    B--D--C

Дано: AB=AC; BD=DC; B, D, C лежат на одной прямой. AD — общая сторона двух треугольников.

1. Какие два малых треугольника образовались после проведения AD? Ответ: ____________________
2. По какому признаку они равны? Запишите все пары сторон. Ответ: ____________________
3. Докажите, что AD делит угол A пополам. Ответ: ____________________
4. Обоснуйте, почему AD перпендикулярна BC. Ответ: ____________________

Рисунок Г. Параллелограмм и его диагональ

A------B
|     |
|     |
|     |
D------C

Дано: AB ∥ CD; BC ∥ AD; AC — проведённая диагональ. Это схема, не масштабный чертёж.

1. Укажите углы, равные при пересечении параллельных AB и CD секущей AC. Ответ: ____________________
2. Укажите вторую равную пару углов через BC∥AD. Ответ: ____________________
3. Закончите доказательство равенства ∆BAC и ∆DCA. Ответ: ____________________
4. Докажите по рисунку обе пары противоположных сторон параллелограмма равными. Ответ: ____________________

Как прочитать четыре изображения, не полагаясь на масштаб

Схема А. Равенство двух боковых отрезков и равенство углов около общей AC позволяют сравнить верхний и нижний треугольники. Соответствие букв важно: в записи ∆BAC≅∆DAC вершина B переходит в D, а A и C сохраняются. Поэтому нельзя произвольно объявить AB и DC соответствующими сторонами.

Схема Б. Пересечение прямых даёт вертикальные углы, а не равенство всех углов на рисунке. Если отмечены AO=BO и CO=DO, то между ними стоят вертикальные углы AOC и BOD. Этого достаточно для первого признака без каких-либо измерений транспортиром.

Схема В. Медиана AD делит BC пополам. Вместе с AB=AC и общей AD это даёт сразу три пары равных сторон. Следовательно, оба малых треугольника равны. Только после этого можно утверждать, что AD делит угол A пополам и перпендикулярна основанию.

Схема Г. Накрест лежащие углы равны при параллельных прямых. Здесь диагональ AC выступает секущей для двух пар параллельных сторон. Равенство прилежащих к ней углов вместе с общей AC показывает равенство треугольников по УСУ. Это строгое геометрическое доказательство, а не проверка длины противоположных сторон линейкой.

Ключ: пошаговые решения к четырём схемам

Рисунок A. Два треугольника по разные стороны AC

1. ∆BAC и ∆DAC (или ∆ABC и ∆ADC), соответствие B↔D, A↔A, C↔C.
2. AB=AD; AC=AC; ∠BAC=∠CAD — включённые углы между этими сторонами.
3. По двум сторонам и углу между ними ∆BAC≅∆DAC, значит BC=DC.
4. CD=17 см. Из ∆BAC≅∆DAC следует равенство соответствующих сторон BC и DC.

Рисунок Б. Две пересекающиеся прямые

1. ∠AOC=∠BOD как вертикальные углы.
2. AO=BO, OC=OD, заключённые углы AOC и BOD равны. СУС, ∆AOC≅∆BOD.
3. AC=BD, потому что они соответствующие стороны равных ∆AOC и ∆BOD.
4. 38°: соответствующие углы равных треугольников ∠OAC и ∠OBD равны.

Рисунок В. Равнобедренный треугольник с медианой

1. ∆ABD и ∆ACD.
2. AB=AC, BD=DC, AD=AD. По трём сторонам (ССС) ∆ABD≅∆ACD.
3. Из равенства треугольников ∠BAD=∠DAC, поэтому AD — биссектриса угла A.
4. ∠ADB=∠ADC как соответствующие; их сумма 180°, так как B,D,C коллинеарны. Значит, оба по 90°, AD⊥BC.

Рисунок Г. Параллелограмм и его диагональ

1. ∠BAC=∠DCA как накрест лежащие при AB∥CD.
2. ∠BCA=∠DAC как накрест лежащие при BC∥AD.
3. AC=CA — общая сторона между указанными углами; по УСУ ∆BAC≅∆DCA.
4. Из ∆BAC≅∆DCA следуют BA=DC и BC=DA.

Общая сторона — это равенство вида AC=CA, а не отдельное дополнительное условие. Если две прямые пересекаются, равенство вертикальных углов известно по теореме; если прямые параллельны, нужны корректно обозначенные накрест лежащие углы. Недостаточно написать «треугольники одинаковые на рисунке». Обязательно ссылайтесь на признак.

Проверка: 16 пунктов, по одному баллу каждый. В задачах на доказательство балл присуждается только при наличии основания (признака или ранее полученного равенства), даже если итоговое число или равенство записано верно.