Пошаговый практикум: арифметический квадратный корень из полного квадрата — 8 класс

Математика · 8 класс. Пошаговый тренажёр из 28 заданий: от узнавания квадратов до дробных и десятичных значений. Для каждого ответа сохраняем неотрицательность арифметического корня. Имя: __________________________ Дата: ______________

Стартовая диагностика: знак ответа важнее скорости

Арифметический квадратный корень √a определён для a ≥ 0 и означает неотрицательное число, квадрат которого равен a. Поэтому √49 = 7, а не «±7». Два числа 7 и −7 действительно имеют квадрат 49, но символ √49 обозначает только 7. Обратите внимание на различие выражений √((−5)²) и (√(−5))²: первое равно 5, второе не имеет смысла в действительных числах.

Частный случай: √(a²) = |a| для любого действительного a. Если a неизвестно и может быть отрицательным, просто снять квадрат и корень, записав a, нельзя. К примеру, √((−11)²) = √121 = 11. Эта проверка позволяет избежать самой частой ошибки в 8 классе.

Карточка А — целые полные квадраты

1. Вычислите √121 без калькулятора. Как проверяется ответ? Ответ/ход: ______________________________________

2. Вычислите √144 без калькулятора. Как проверяется ответ? Ответ/ход: ______________________________________

3. Вычислите √289 без калькулятора. Как проверяется ответ? Ответ/ход: ______________________________________

4. Вычислите √361 без калькулятора. Как проверяется ответ? Ответ/ход: ______________________________________

5. Вычислите √529 без калькулятора. Как проверяется ответ? Ответ/ход: ______________________________________

6. Вычислите √625 без калькулятора. Как проверяется ответ? Ответ/ход: ______________________________________

7. Вычислите √729 без калькулятора. Как проверяется ответ? Ответ/ход: ______________________________________

8. Вычислите √961 без калькулятора. Как проверяется ответ? Ответ/ход: ______________________________________

9. Вычислите √1156 без калькулятора. Как проверяется ответ? Ответ/ход: ______________________________________

10. Вычислите √1764 без калькулятора. Как проверяется ответ? Ответ/ход: ______________________________________

Карточка Б — квадрат дроби

Если дробь положительна, её квадрат получают возведением числителя и знаменателя в квадрат; обратное действие: √(m²/n²) = m/n при m ≥ 0, n > 0. Убедитесь, что дробь уже сокращена, а не смешивайте извлечение корня с делением числителя на знаменатель без проверки.

11. Найдите √(9/16) и проверьте возведением результата в квадрат. Ответ/ход: ______________________________________

12. Найдите √(25/36) и проверьте возведением результата в квадрат. Ответ/ход: ______________________________________

13. Найдите √(49/9) и проверьте возведением результата в квадрат. Ответ/ход: ______________________________________

14. Найдите √(81/16) и проверьте возведением результата в квадрат. Ответ/ход: ______________________________________

15. Найдите √(121/25) и проверьте возведением результата в квадрат. Ответ/ход: ______________________________________

16. Найдите √(169/100) и проверьте возведением результата в квадрат. Ответ/ход: ______________________________________

Карточка В — квадрат десятичной дроби

17. Вычислите √0,16. Ответ/ход: ______________________________________

18. Вычислите √2,25. Ответ/ход: ______________________________________

19. Вычислите √0,0009. Ответ/ход: ______________________________________

20. Вычислите √12,25. Ответ/ход: ______________________________________

Карточка Г — выражения с отрицательными числами

21. Вычислите √((-9)²) и объясните знак результата. Ответ/ход: ______________________________________

22. Вычислите √((-4)²) и объясните знак результата. Ответ/ход: ______________________________________

23. Вычислите √((-12)²) и объясните знак результата. Ответ/ход: ______________________________________

24. Вычислите √((6)²) и объясните знак результата. Ответ/ход: ______________________________________

Карточка Д — восстановите подкоренное число

25. Найдите неотрицательное число N, если √N = 18. Ответ/ход: ______________________________________

26. Найдите неотрицательное число N, если √N = 2/5. Ответ/ход: ______________________________________

27. Найдите неотрицательное число N, если √N = 0,7. Ответ/ход: ______________________________________

28. Найдите неотрицательное число N, если √N = 0. Ответ/ход: ______________________________________

Почему решение проверяется обратным действием

В задачах с целыми числами полезно помнить ближайшие квадраты: 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Если ответ больше предполагаемого без вычисления, вернитесь к умножению. При работе с дробями возведите найденную дробь в квадрат; при работе с десятичными числами проверьте запятую. Для выражения √(a²) обязательно оцените знак a: результат равен |a| и не может оказаться отрицательным.

Один квадрат — разные записи результата

Посмотрим на три внешне похожих записи. Первая: √196 = 14. Вторая: уравнение z² = 196 имеет два корня, z = 14 и z = −14. Третья: √((−14)²) = 14. Хотя во всех случаях встречается число 196, математические действия различаются. В заданиях важно буквально читать знак корня и место скобок: квадрат относится только к выражению в скобках. Отсюда правило самоконтроля: ни один ответ на вычисление арифметического квадратного корня не может быть отрицательным.

При работе с большими полными квадратами необязательно угадывать корень. Разложите число на удобные множители. Например, 1444 = 4 · 361 = 2² · 19², поэтому √1444 = 2 · 19 = 38. Эта проверка работает потому, что оба множителя под корнем неотрицательны. Если учащийся пока не изучал извлечение корня из произведения, тот же результат можно проверить умножением 38 · 38 = 1444.

Три ступени самостоятельной проверки

Первая ступень: определите тип числа под корнем. Для целого полного квадрата найдите знакомое число из таблицы квадратов. Для обыкновенной дроби отдельно проверьте квадрат числителя и знаменателя. Для десятичной дроби запишите число без запятой, найдите квадрат, а затем проверьте разряды: число 0,0009 имеет корень 0,03, поскольку три сотых в квадрате дают девять десятитысячных.

Вторая ступень: вычислите квадрат своего ответа. Если ответ 2/5, то квадрат будет 4/25. Если ответ 3,5, то квадрат равен 12,25. Квадрат должен точно совпасть с подкоренным выражением, а не просто быть близок. Третья ступень: убедитесь в знаке. Даже если под корнем квадрат отрицательного числа, результат от знака √ всё равно неотрицателен.

При коллективной проверке удобно обменяться карточками и искать не только ответ, но и способ подтверждения. Если два ученика получили одинаковый числовой результат разными способами, попросите записать вычисление, которое доказывает ответ. Это особенно полезно для дробных квадратов, когда неверно сокращают дробь или забывают возвести в квадрат знаменатель.

Важная проверка. Знак «±» появляется, когда решают уравнение x² = 49: тогда x = 7 или x = −7. Но значение выражения √49 единственно и равно 7. Это разные математические вопросы.

Ключ для учителя и самопроверки

Сначала выполните ученическую часть без подсказок. Ниже приведены ответы и короткие обоснования; при печати для школьников распечатывайте страницы документа до раздела с ключом. Не выдавайте ученикам ключ одновременно с карточкой.

1. 11. — 11² = 121; арифметический корень неотрицателен.

2. 12. — 12² = 144; арифметический корень неотрицателен.

3. 17. — 17² = 289; арифметический корень неотрицателен.

4. 19. — 19² = 361; арифметический корень неотрицателен.

5. 23. — 23² = 529; арифметический корень неотрицателен.

6. 25. — 25² = 625; арифметический корень неотрицателен.

7. 27. — 27² = 729; арифметический корень неотрицателен.

8. 31. — 31² = 961; арифметический корень неотрицателен.

9. 34. — 34² = 1156; арифметический корень неотрицателен.

10. 42. — 42² = 1764; арифметический корень неотрицателен.

11. 3/4. — (3/4)² = 9/16; берём положительный корень.

12. 5/6. — (5/6)² = 25/36; берём положительный корень.

13. 7/3. — (7/3)² = 49/9; берём положительный корень.

14. 9/4. — (9/4)² = 81/16; берём положительный корень.

15. 11/5. — (11/5)² = 121/25; берём положительный корень.

16. 13/10. — (13/10)² = 169/100; берём положительный корень.

17. 0,4. — Проверка умножением: 0,4 · 0,4 = 0,16. Обратите внимание на количество десятичных разрядов.

18. 1,5. — Проверка умножением: 1,5 · 1,5 = 2,25. Обратите внимание на количество десятичных разрядов.

19. 0,03. — Проверка умножением: 0,03 · 0,03 = 0,0009. Обратите внимание на количество десятичных разрядов.

20. 3,5. — Проверка умножением: 3,5 · 3,5 = 12,25. Обратите внимание на количество десятичных разрядов.

21. 9. — ((-9)²) = 81; √81 = 9 = |-9|.

22. 4. — ((-4)²) = 16; √16 = 4 = |-4|.

23. 12. — ((-12)²) = 144; √144 = 12 = |-12|.

24. 6. — ((6)²) = 36; √36 = 6 = |6|.

25. N = 324. — Возведите обе части равенства в квадрат: (18)² = 324.

26. N = 4/25. — Возведите обе части равенства в квадрат: (2/5)² = 4/25.

27. N = 0,49. — Возведите обе части равенства в квадрат: (0,7)² = 0,49.

28. N = 0. — Возведите обе части равенства в квадрат: (0)² = 0.

Как проверить себя

Найдите квадрат записанного ответа; он должен в точности совпасть с подкоренным числом. Проверьте, что сам ответ неотрицательный. На этапе диагностики важно не количество угаданных квадратов, а различие между √a и решениями уравнения x² = a.

Материал рассчитан на 8 класс. В школах России и Казахстана последовательность тем может различаться; учитель выбирает упражнения после изучения соответствующих правил.