Пошаговый практикум: каноническое разложение чисел на множители — 6 класс

6 класс. Тема — каноническое разложение натурального числа на простые множители. На печатной версии сначала выполняют задания, затем сверяются с ключом в конце страницы. Для работы достаточно таблицы простых чисел до 31 и черновика.

Каноническая запись использует только простые множители, перечисленные по возрастанию. Если множитель повторяется, удобна степень: 72 = 2³ · 3². Проверка всегда одна: перемножить указанные множители и получить исходное число. Например, запись 12 = 2 · 6 не окончательная, поскольку 6 составное.

В 6 классе достаточно разложения простыми делителями, последовательного деления на 2, 3, 5, 7 и другие простые числа. Знакомство со степенями здесь означает только краткую запись одинаковых множителей.

Блок 1. Короткая серия: дели на простые числа

Решайте № 1–7 без подсказки. После каждого результата умножайте найденные простые множители: эта проверка особенно полезна при повторяющихся двойках и тройках.

1. Разложите 84 на простые множители. Запишите произведение и каноническую форму со степенью.
2. Разложите 90; отдельно укажите, сколько раз встречается множитель 3.
3. Разложите 132 и проверьте результат обратным умножением.
4. Для числа 225 запишите все простые множители, не пропуская повторения.
5. Составьте каноническое разложение 252. Начните делить число на 2.
6. Разложите 360. Укажите показатель степени при двойке.
7. Разложите 385 без деления на все числа подряд: используйте признаки делимости.

Блок 2. Восстановление пропусков

В заданиях № 8–12 не нужно раскладывать число с нуля: сначала проверьте множители, которые уже указаны. При заполнении пропуска сохраняйте смысл канонической формы — произведения только простых чисел и их степеней.

8. Восстановите пропуск: 84 = 2² · □ · 7. В пустом месте должно стоять простое число.
9. Допишите степени: 144 = 2^□ · 3^□.
10. Дополните: 150 = 2 · 3 · □².
11. Разложение 216 = 2³ · 3^□. Найдите показатель степени.
12. Ученик записал 180 = 2² · □ · 5. Найдите отсутствующий множитель в канонической записи со степенью.

Блок 3. Итоговая самостоятельная работа

Задания № 13–16 выполняйте отдельно, как мини-контрольную на 8–10 минут. Доказательством правильности служит не уверенность в ответе, а обратное умножение и проверка простоты каждого множителя.

13. Проверьте запись «126 = 2 · 7 · 9». Объясните ошибку и дайте полную каноническую запись.
14. Установите, какое число разложено как 2³ · 3 · 5². Покажите умножение.
15. Составьте разложение числа 420 и укажите количество различных простых множителей.
16. Сравните 2³ · 3² и 2² · 3³: какое из полученных натуральных чисел больше и на сколько?

Самопроверка: выполнены все 16 номеров; в канонических формах нет 4, 6, 9 и других составных множителей; степени не теряют повторений; вычисление восстановленного числа совпадает с условием.

Ключ для учителя и самостоятельной проверки

1. 84 = 2 · 2 · 3 · 7 = 2² · 3 · 7. Проверка: 4 · 3 · 7 = 84.
2. 90 = 2 · 3 · 3 · 5 = 2 · 3² · 5; тройка повторяется дважды.
3. 132 = 2² · 3 · 11; 4 · 3 · 11 = 132.
4. 225 = 3 · 3 · 5 · 5 = 3² · 5²; проверка: 9 · 25 = 225.
5. 252 = 2² · 3² · 7; 4 · 9 · 7 = 252.
6. 360 = 2³ · 3² · 5; показатель степени двойки — 3.
7. 385 = 5 · 7 · 11; число делится на 5, затем 77 = 7 · 11.
8. 3; получается 4 · 3 · 7 = 84.
9. Показатели 4 и 2: 2⁴ · 3² = 16 · 9 = 144.
10. 5: 150 = 2 · 3 · 5².
11. 3: 216 = 2³ · 3³ = 8 · 27.
12. 3²: 180 = 2² · 3² · 5; это 4 · 9 · 5.
13. 9 составное; 126 = 2 · 3² · 7. Промежуточное произведение 2 · 7 · 9 верно по значению, но не канонично.
14. 600, поскольку 2³ · 3 · 5² = 8 · 3 · 25 = 600.
15. 420 = 2² · 3 · 5 · 7; различных простых множителей четыре: 2, 3, 5, 7.
16. 2³ · 3² = 72, 2² · 3³ = 108; второе число больше на 36.

Как оценить работу

По одному баллу за каждый верный номер; в заданиях 13 и 16 оценивайте также объяснение. Если ошибались в нескольких разложениях подряд, вернитесь к делению столбиком и проверьте, делится ли остаток на очередное простое число. Задачи можно использовать как домашний тренажёр или самостоятельный лист на уроке.

Подсказки для трудных случаев

У числа 385 последняя цифра сразу подсказывает делимость на 5; после деления остаётся 77, и это произведение 7 · 11. У числа 252 удобно дважды выделить двойку, а затем увидеть 63 = 3² · 7. Эти наблюдения не заменяют решения — они помогают выбрать короткий путь без перебора всех натуральных чисел.

Разница между произведением простых чисел и канонической записью со степенями только в форме: 2 · 2 · 3 · 3 · 7 и 2² · 3² · 7 описывают одно и то же число. Запись со степенями не требует умножать степени между собой: сначала вычисляют каждую степень, затем перемножают значения. Это особенно важно при проверке заданий 14 и 16.