Пошаговый практикум: наибольшее целое решение неравенства — 8 класс

«Наибольшее целое решение» — это самое правое целое число, которое ещё удовлетворяет неравенству. Не нужно находить десятичные приближения, если граница задана дробью. Этот практикум тренирует переход от строгой и нестрогой границы к конкретному целому ответу, а также распознавание ситуаций, когда наибольшего решения не существует.

Что важно понять до вычислений

• Если x < 5, ответ 4: сама пятёрка исключена. Если x ≤ 5, ответ 5.
• Если x < 5,5, то наибольшее целое — 5. Если x ≤ −1,5, то наибольшее целое — −2.
• Если найден только нижний предел, например x > 4, наибольшего целого решения нет: можно взять ещё большее целое.
• При делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства нужно перевернуть.

Часть 1. Проверь понимание границы

В первых восьми пунктах запишите решение x со знаком, отметьте границу на прямой и назовите наибольшее целое. Важна пара № 1–2: разница только в знаке, но итоговые целые отличаются на единицу.

1. x < 7. Наибольшее целое x: ______; почему? __________________.
2. x ≤ 7. Наибольшее целое x: ______; почему? __________________.
3. x < -2. Наибольшее целое x: ______; почему? __________________.
4. x ≤ -2. Наибольшее целое x: ______; почему? __________________.
5. 2x < 11. Наибольшее целое x: ______; почему? __________________.
6. 3x ≤ 10. Наибольшее целое x: ______; почему? __________________.
7. -2x > 7. Наибольшее целое x: ______; почему? __________________.
8. -3x ≥ 9. Наибольшее целое x: ______; почему? __________________.

Часть 2. Восемь примеров с переносом слагаемых

Здесь не угадывайте ответ по правой части: сначала решите неравенство. В частности, отрицательный коэффициент после переноса может дать верхнюю границу. Для проверки сравните найденный ответ и следующее за ним целое число: первое должно подходить, второе — нет.

9. 2x + 3 ≤ 12. Граница: ______; максимальное целое: ______.
10. 3x − 5 < 7. Граница: ______; максимальное целое: ______.
11. -4x + 2 > -11. Граница: ______; максимальное целое: ______.
12. 5x + 1 ≤ -7. Граница: ______; максимальное целое: ______.
13. 4x − 3 < 10. Граница: ______; максимальное целое: ______.
14. -5x + 4 ≥ -13. Граница: ______; максимальное целое: ______.
15. 3x + 1 ≤ -8. Граница: ______; максимальное целое: ______.
16. -2x + 7 > 0. Граница: ______; максимальное целое: ______.

Часть 3. Дробные и целые границы

Не переводите каждую дробь в десятичную, если целая часть очевидна. Значение 5,5 находится между 5 и 6, поэтому при условии x < 5,5 крайнее подходящее целое равно 5. Отрицательные числа расположены наоборот: −2 левее −1. Прежде чем дать ответ, убедитесь, что строгая или нестрогая граница учтена верно.

17. x < 11/2. Найди наибольшее целое решение или объясни его отсутствие.
18. x ≤ 11/2. Найди наибольшее целое решение или объясни его отсутствие.
19. 3x + 2 < 19/2. Найди наибольшее целое решение или объясни его отсутствие.
20. -2x − 1 ≥ -13/2. Найди наибольшее целое решение или объясни его отсутствие.
21. 2x − 5 ≤ 7/2. Найди наибольшее целое решение или объясни его отсутствие.
22. -3x + 4 > -11/2. Найди наибольшее целое решение или объясни его отсутствие.
23. x < 0. Найди наибольшее целое решение или объясни его отсутствие.
24. x ≤ 0. Найди наибольшее целое решение или объясни его отсутствие.

Часть 4. Вопросы-доказательства: всегда ли ответ существует?

Последние четыре задачи построены как ловушки. В некоторых неравенствах множество целых решений не ограничено сверху, поэтому нельзя назвать «последнее» целое. Приведите два разных решения и покажите, как из любого выбранного можно получить большее.

25. x > 3. Наибольшее целое: ______; обоснование: ______________________.
26. 2x ≥ -4. Наибольшее целое: ______; обоснование: ______________________.
27. -2x + 3 < 9. Наибольшее целое: ______; обоснование: ______________________.
28. -3x + 1 ≤ 7. Наибольшее целое: ______; обоснование: ______________________.

Покажи правило на отрицательной и дробной границе

Рассмотрим x < −2. На числовой прямой правее −2 находятся −1 и 0, поэтому они не подходят. Число −2 тоже не подходит из-за строгого знака. Самое правое целое решение — −3. При x ≤ −2 число −2 уже разрешено и становится ответом. Привычное «округление» здесь не работает: нас интересует расположение целого числа относительно границы, а не ближайшее к ней число.

Пример с рациональной границей: 4x − 3 < 10. Прибавляем 3, получаем 4x < 13, затем x < 13/4. Число 13/4 находится между 3 и 4, поэтому наибольшее целое — 3. Проверка: 4 · 3 − 3 = 9, а 9 < 10; для следующего целого 4 получаем 13, оно уже не меньше 10. Два числовых примера подтверждают, что 3 подходит и что увеличить его до 4 нельзя.

Если знак после деления изменился на «больше», граница может оказаться нижней. Из −2x + 3 < 9 следует −2x < 6, значит, x > −3. Решений-целых бесконечно много вправо: 0, 1, 2, 3, …; выбрать самое большое нельзя. При этом наименьшее целое здесь было бы −2. Это разные вопросы, и в данном практикуме требуется только наибольшее.

Самостоятельный анализ ошибки можно организовать в парах: один ученик называет ответ и следующее целое, второй проверяет оба подстановкой. Если оба подходят, значит, названное число не максимально. Если не подходит первое, ошибочна граница или учёт строгого знака. Если решений неограниченно много вправо, достаточно объяснить, что к любому подходящему целому можно прибавить 1 и вновь получить решение.

Самостоятельное доказательство найденного максимума

Хороший ответ содержит не только число, но и причину, почему оно действительно наибольшее. Если x ≤ 4, то 4 подходит, а любое целое больше 4 нарушает условие. Если x < 4, то число 4 не подходит, зато подходит 3; других целых строго между 3 и 4 нет. Получается короткое доказательство, основанное на двух последовательных целых числах.

Если в ответе дробная граница, используйте порядок соседних целых. Например, для x ≤ −3/2 подходят −2, −3 и все меньшие целые. Число −1 больше −3/2, поэтому оно запрещено; ответ −2. В записи x ≤ −7/2 наибольшее целое — −4. Неверное применение обычного арифметического округления часто даёт −3, хотя число −3 не удовлетворяет условию.

Полезно придумать два неравенства с одним ответом. Максимум 6 получается и для x < 7, и для x ≤ 6,3. А если вместо x ≤ 6,3 записать x > 6,3, наибольшего целого не существует. В последнем случае не помогает перебор больших значений: после любого найденного целого решения найдётся следующее, ещё большее.

Особый вопрос для сильного ученика: может ли линейное неравенство с одной переменной иметь ровно одно целое решение? Обычное одностороннее неравенство вида ax + b < c при a ≠ 0 задаёт луч, поэтому либо целых решений бесконечно много, либо их нет при дополнительных ограничениях. Ровно одно целое обычно возникает, когда есть две границы, например система 3 ≤ x ≤ 3. Этот вывод помогает отличить одно неравенство от системы.

Развёрнутые ответы к 28 заданиям

1. x < 7; 6. Число 6 удовлетворяет условию, а 7 уже не подходит.
2. x ≤ 7; 7. Число 7 удовлетворяет условию, а 8 уже не подходит.
3. x < -2; -3. Число -3 удовлетворяет условию, а -2 уже не подходит.
4. x ≤ -2; -2. Число -2 удовлетворяет условию, а -1 уже не подходит.
5. x < 11/2; 5. Число 5 удовлетворяет условию, а 6 уже не подходит.
6. x ≤ 10/3; 3. Число 3 удовлетворяет условию, а 4 уже не подходит.
7. x < -7/2; -4. Число -4 удовлетворяет условию, а -3 уже не подходит.
8. x ≤ -3; -3. Число -3 удовлетворяет условию, а -2 уже не подходит.
9. x ≤ 9/2; 4. Число 4 удовлетворяет условию, а 5 уже не подходит.
10. x < 4; 3. Число 3 удовлетворяет условию, а 4 уже не подходит.
11. x < 13/4; 3. Число 3 удовлетворяет условию, а 4 уже не подходит.
12. x ≤ -8/5; -2. Число -2 удовлетворяет условию, а -1 уже не подходит.
13. x < 13/4; 3. Число 3 удовлетворяет условию, а 4 уже не подходит.
14. x ≤ 17/5; 3. Число 3 удовлетворяет условию, а 4 уже не подходит.
15. x ≤ -3; -3. Число -3 удовлетворяет условию, а -2 уже не подходит.
16. x < 7/2; 3. Число 3 удовлетворяет условию, а 4 уже не подходит.
17. x < 11/2; 5. Число 5 удовлетворяет условию, а 6 уже не подходит.
18. x ≤ 11/2; 5. Число 5 удовлетворяет условию, а 6 уже не подходит.
19. x < 5/2; 2. Число 2 удовлетворяет условию, а 3 уже не подходит.
20. x ≤ 11/4; 2. Число 2 удовлетворяет условию, а 3 уже не подходит.
21. x ≤ 17/4; 4. Число 4 удовлетворяет условию, а 5 уже не подходит.
22. x < 19/6; 3. Число 3 удовлетворяет условию, а 4 уже не подходит.
23. x < 0; -1. Число -1 удовлетворяет условию, а 0 уже не подходит.
24. x ≤ 0; 0. Число 0 удовлетворяет условию, а 1 уже не подходит.
25. x > 3; наибольшего целого решения нет: числа 5 и 6 подходят, и вправо можно идти без конца.
26. x ≥ -2; наибольшего целого решения нет: числа 0 и 1 подходят, и вправо можно идти без конца.
27. x > -3; наибольшего целого решения нет: числа -1 и 0 подходят, и вправо можно идти без конца.
28. x ≥ -2; наибольшего целого решения нет: числа 0 и 1 подходят, и вправо можно идти без конца.

Критерии оценивания: ученик правильно решает исходное неравенство, учитывает тип границы и объясняет максимум либо его отсутствие. Для учителя удобна оценка по 2 балла: 1 за неравенство вида x < a или x ≤ a, 1 за окончательное целое и доказательство соседним числом. В задачах без максимума оба балла даются за верное указание неограниченности и пример двух подходящих целых.

Исправление типичной ошибки: если записано «x < 7, значит 7», попросите подставить 7 в исходное выражение. Для x ≤ −2,5 не округляйте до −2 по правилам десятичных дробей; наибольшее подходящее целое — −3, потому что −2 больше заданной границы. Округление до ближайшего числа и выбор граничного целого — разные операции.