Пошаговый практикум: превращение словесного правила в алгебраическую формулу — 7 класс

7 класс · Алгебра · Рабочий материал для печати

Практикум учит превращать целое словесное правило в формулу зависимости величин. В отличие от задания «составьте одно буквенное выражение», здесь нужно выделить зависимую величину и записать равенство.

Что меняется, когда мы записываем формулу?

В обычном выражении 3x + 2 есть вычислительное правило. Формула y = 3x + 2 показывает, как одна величина y зависит от другой x. Хорошая формула однозначно указывает искомую величину слева, переменные справа и порядок действий; при наличии единиц измерения они не должны противоречить друг другу.

Учебный маршрут: правило — формула — пробная подстановка

Шаг 1. Прочитайте фразу и найдите слова «равен», «состоит из», «получают», «складывают». Шаг 2. Выделите искомую величину и поставьте её слева от знака равенства. Шаг 3. Правую часть составьте из известных величин. Шаг 4. Проверьте формулу на простых числах.

Например: «плата C состоит из суммы за k билетов по p рублей и сбора d рублей» → C = kp + d. При k = 2, p = 10, d = 3 получаем C = 23. Эта проверка защищает от случайной потери фиксированного сбора.

Мини-тест: карточка А (1–10)

Для каждого словесного правила запишите формулу, а в одном выбранном пункте объясните порядок действий. Номер формулы соответствует номеру ответа в ключе.

1. Результат z равен сумме утроенного x и y. Формула: ______________________
2. Периметр квадрата P равен четырём длинам стороны a. Формула: ______________________
3. Площадь прямоугольника S равна произведению длины a и ширины b. Формула: ______________________
4. Стоимость C состоит из n товаров по цене p. Формула: ______________________
5. Новая сумма Q получается уменьшением P на d рублей. Формула: ______________________
6. Общее время T двух участков равно сумме t и u. Формула: ______________________
7. Среднее арифметическое двух чисел a и b обозначено m. Формула: ______________________
8. Расстояние s равно произведению постоянной скорости v на время t. Формула: ______________________
9. Скорость v вычисляется делением пути s на время t (t не равно нулю). Формула: ______________________
10. Оплата y за поездку равна фиксированному сбору c плюс p рублей за каждый из x километров. Формула: ______________________

Задачи на перенос: карточка Б (11–20)

Здесь важны единицы измерения и смысл переменной. Под формулой коротко укажите, какая буква отвечает за результат.

11. Ширина w на b единиц меньше длины a. Запишите буквенную зависимость.
12. Площадь квадрата S равна квадрату длины стороны a. Запишите буквенную зависимость.
13. Периметр треугольника P — сумма длин его сторон a, b и c. Запишите буквенную зависимость.
14. Итоговая оплата C за n товаров по p и доставку d. Запишите буквенную зависимость.
15. Остаток r равен количеству n после передачи k предметов. Запишите буквенную зависимость.
16. Всего N страниц прочитано за t дней с темпом p страниц в день. Запишите буквенную зависимость.
17. Число y на m больше числа x. Запишите буквенную зависимость.
18. Сумма S двух последовательных натуральных чисел, первое из которых n. Запишите буквенную зависимость.
19. Сумма N пяти одинаковых долей q. Запишите буквенную зависимость.
20. Новая длина L получается увеличением длины a на k. Запишите буквенную зависимость.

Продвинутый уровень: карточка В (21–28)

Отдельно проверьте, требует ли правило скобок. Фразы «удвоенная сумма» и «сумма удвоенного числа» задают разные операции; переставлять их местами нельзя.

21. Сумма S трёх последовательных целых чисел, первое n. Формула: ______________________
22. Число z равно удвоенной сумме x и y. Формула: ______________________
23. Число z равно удвоенной разности a и b. Формула: ______________________
24. Конец интервала f наступает через d минут после его начала t (в минутах от начала суток, без перехода через полночь). Формула: ______________________
25. Выручка R равна числу проданных единиц x, умноженному на цену p. Формула: ______________________
26. Прибыль P равна разности выручки R и затрат C. Формула: ______________________
27. Всего M мест в n рядах по k мест и ещё m дополнительных мест. Формула: ______________________
28. Число N карандашей в n коробках по k, после того как вынули r. Формула: ______________________

Место для решения: ____________________________________________________________
___________________________________________________________________________________

Разбор теста: правильные формулы

1. z = 3x + y. При x = 2, y = 4: z = 10.
2. P = 4a. При a = 3: P = 12.
3. S = ab. При a = 3, b = 4: S = 12.
4. C = np. При n = 3, p = 5: C = 15.
5. Q = P − d. При P = 10, d = 2: Q = 8.
6. T = t + u. При t = 2, u = 3: T = 5.
7. m = (a + b)/2. При a = 4, b = 8: m = 6.
8. s = vt. При v = 6, t = 3: s = 18.
9. v = s/t. При s = 20, t = 4: v = 5.
10. y = c + px. При c = 3, p = 2, x = 4: y = 11.
11. w = a − b. При a = 9, b = 2: w = 7.
12. S = a². При a = 4: S = 16.
13. P = a + b + c. При a = 3, b = 4, c = 5: P = 12.
14. C = np + d. При n = 2, p = 6, d = 3: C = 15.
15. r = n − k. При n = 11, k = 4: r = 7.
16. N = pt. При p = 9, t = 3: N = 27.
17. y = x + m. При x = 5, m = 2: y = 7.
18. S = n + (n + 1). При n = 6: S = 13.
19. N = 5q. При q = 2: N = 10.
20. L = a + k. При a = 7, k = 3: L = 10.
21. S = 3n + 3. При n = 2: S = 9.
22. z = 2(x + y). При x = 2, y = 4: z = 12.
23. z = 2(a − b). При a = 7, b = 3: z = 8.
24. f = t + d. При t = 100, d = 20: f = 120.
25. R = px. При p = 5, x = 4: R = 20.
26. P = R − C. При R = 30, C = 12: P = 18.
27. M = nk + m. При n = 3, k = 4, m = 2: M = 14.
28. N = nk − r. При n = 3, k = 6, r = 2: N = 16.

Рубрика для проверки

За каждый пункт — 1 балл за правильную зависимость и ещё 1 балл за верную подстановку чисел из ключа, которую можно повторить в тетради: всего 56 баллов. Для подготовки к контрольной выделите семь самых сложных формул; объясните партнёру, почему в них используются скобки. Не подменяйте словесное правило похожим выражением, если потерялся смысл величин.

Трудные места: от описания к общей зависимости

Формулу полезно проверять не только одним числом, но и смыслом изменений. Например, если y = c + px описывает стоимость поездки, увеличение x на 1 при фиксированных c и p должно увеличивать y ровно на p. В записи y = (c + p)x это свойство нарушается: вместе с расстоянием ошибочно «растёт» и фиксированный сбор. Такое рассуждение даёт независимую проверку, даже когда арифметика выполнена правильно.

Для среднего арифметического двух чисел важно поставить скобки: m = (a + b)/2. Без них запись a + b/2 означает, что пополам делится только b. Проверим при a = 4, b = 8: верное среднее равно 6, а ошибочная запись дала бы 8. После такой проверки хорошо спросить, может ли среднее двух разных положительных чисел оказаться больше обоих. Не может; это дополнительный контроль смысла.

В формулах пути, времени и скорости следите за единицами. Если v задана в километрах в час, а t — в часах, произведение vt имеет размерность километров. Для формулы v = s/t необходимо t ≠ 0. Подстановка t = 0 не создаёт «очень большую скорость» — операция деления просто запрещена. При составлении формул из текстовых правил такие ограничения лучше проговаривать заранее.

Мини-разбор: две похожие словесные конструкции

«Удвоенная сумма x и y» означает 2(x + y), потому что сначала складывают числа, а затем удваивают результат. «Сумма удвоенного x и y» означает 2x + y, так как вдвое увеличивают только x. При x = 3 и y = 5 результаты различаются: 16 и 11. Запишите обе формулы рядом и подчеркните слово, которое меняет порядок действий. Это тренирует внимательное чтение условия.

Сходным образом «число стало на k больше» записывается как L = a + k, а «увеличилось в k раз» — как L = ak. И здесь простой числовой пример показывает разницу: при a = 4, k = 3 получается 7 в первом случае и 12 во втором. Полезно сопоставлять такие пары перед итоговым тестом, потому что грамматическая ошибка в условии часто превращается в математическую.

Дополнительная проверка формулы без новой задачи

На этапе проверки ученику можно предложить устно ответить на вопросы к уже составленным формулам: как изменится стоимость C при увеличении n на один товар? Что станет с прибылью P, если затраты вырастут на 5 единиц, а выручка не изменится? Как повлияет удвоение стороны квадрата на его площадь? Ответы следуют из формул: стоимость возрастёт на p; прибыль уменьшится на 5; площадь квадрата увеличится в четыре раза. Это не отдельные упражнения к подсчёту баллов, а способ проверить понимание полученной записи.

Важны и допустимые значения величин. В задаче про оплату число товаров n не бывает отрицательным, а в формуле остатка r = n − k количество вынутых предметов не должно превышать исходное количество. Само буквенное равенство можно использовать шире, но при применении к конкретной истории ограничения определяются её смыслом. Договоритесь, какие величины могут быть дробными, а какие по условию должны быть целыми.

Для самостоятельного исправления ошибки попросите дописать рядом с формулой одну строку словами: «сначала умножаю количество на цену, затем прибавляю доставку». Если это объяснение не совпадает с символами, формулу нужно исправить. Такая сверка снижает число случайных перестановок операций и делает готовый ответ понятным родителю или проверяющему однокласснику.

Порядок работы: ученик выполняет задания до раздела «Ответы»; учитель или родитель сверяет ключ и просит объяснить обнаруженные ошибки. Последовательность тем может различаться в программах школ России и Казахстана.