Пошаговый практикум: сложение отрицательных целых чисел — 6 класс

Практикум по сложению отрицательных целых чисел. 6 класс. Имя: ______________________________ Дата: __________. Отметка о выполнении: ступень 1 □ ступень 2 □ ступень 3 □ ступень 4 □.

Содержание статьи13 разделов

Первая опора: почему появляется минус

Представь числовую прямую. Начни в точке −3 и прибавь −4: это означает перейти на четыре единицы влево и попасть в −7. Поэтому (−3) + (−4) = −7. Если оба слагаемых отрицательны, результат тоже отрицателен; его модуль равен сумме модулей слагаемых. Правило работает для любых целых чисел, хотя в этой подборке все слагаемые отрицательны.

Второй пример: (−12) + (−8) = −(12 + 8) = −20. Скобки вокруг отрицательных слагаемых помогают не принять два знака минус за вычитание. В самостоятельных упражнениях сначала оцени знак результата и только затем сложи положительные расстояния.

Ступень 1. Один переход влево

Задания 1–8. Выполни сумму без калькулятора. Рядом можешь нарисовать стрелки на прямой от −15 до 0; за верный знак результата ставь себе маленькую отметку.

  1. (-2) + (-5) = __________
  2. (-4) + (-3) = __________
  3. (-1) + (-9) = __________
  4. (-6) + (-6) = __________
  5. (-7) + (-2) = __________
  6. (-3) + (-8) = __________
  7. (-9) + (-1) = __________
  8. (-5) + (-4) = __________

Ступень 2. Суммы с переходом через десятки и сотни

Задания 9–16. Для быстроты вычисления складывай модули столбиком или устно удобными частями. Например, при (−31) + (−19) полезно заметить 31 + 19 = 50. В итоговой записи знак минус обязателен.

  1. (-12) + (-8) = __________
  2. (-15) + (-17) = __________
  3. (-24) + (-6) = __________
  4. (-31) + (-19) = __________
  5. (-40) + (-60) = __________
  6. (-76) + (-14) = __________
  7. (-55) + (-45) = __________
  8. (-120) + (-35) = __________

Ступень 3. Три слагаемых

Задания 17–23. Можно переставлять местами слагаемые, чтобы собрать круглые десятки: сумма не изменится. Но переставлять числа со сменой знака нельзя. Выпиши промежуточное сложение, если оно облегчает проверку.

  1. (-4) + (-6) + (-3) = __________
  2. (-12) + (-8) + (-5) = __________
  3. (-1) + (-19) + (-20) = __________
  4. (-18) + (-7) + (-5) = __________
  5. (-33) + (-11) + (-6) = __________
  6. (-25) + (-25) + (-10) = __________
  7. (-48) + (-2) + (-50) = __________

Ступень 4. Целые числа в жизненных моделях

Задания 24–30. Сначала составь выражение с отрицательными слагаемыми, затем вычисли его. Долг, падение температуры, штраф и смещение вниз передаются отрицательным знаком. Важна выбранная точка отсчёта: знак описывает направление или баланс, а не «плохое число».

  1. Температура была −4 °C и снизилась ещё на 7 °C. Какая она стала? Выражение: __________________ Ответ: ______________
  2. Счёт показывал долг −35 рублей; добавился долг −16 рублей. Каков итоговый баланс? Выражение: __________________ Ответ: ______________
  3. Подводный прибор находился на отметке −18 м и опустился на 9 м. Какова новая отметка? Выражение: __________________ Ответ: ______________
  4. Команда получила штраф −13 очков, затем ещё −12 очков. Каков общий результат штрафов? Выражение: __________________ Ответ: ______________
  5. В журнале погоды записали изменение −6 °C утром и −8 °C вечером. Каково суммарное изменение? Выражение: __________________ Ответ: ______________
  6. Сначала высота условной отметки изменилась на −21 см, потом на −19 см. Найди суммарное смещение. Выражение: __________________ Ответ: ______________
  7. Три последовательных списания: −5, −8 и −7 условных единиц. Найди сумму. Выражение: __________________ Ответ: ______________

До ключа проверь три признака: каждое слагаемое отрицательно; сумма также отрицательна; модуль суммы больше модуля любого отдельного слагаемого. Для трёх и более отрицательных слагаемых условие тоже выполняется, если ни одно слагаемое не равно нулю.

Как не потерять знак на большой сумме

В ступени 2 некоторые ответы имеют модуль больше ста. Размер числа не меняет правило: если обе величины отрицательны, мы суммируем их модули и ставим один минус перед полученной положительной суммой. Например, для −120 и −35 сначала составь 120 + 35 = 155, затем получи −155. Запись «−120 + (−35) = 155» невозможно принять без проверки: два перемещения влево не могут закончиться справа от исходной точки.

В ступени 3 рационально использовать переместительное и сочетательное свойства сложения. Для выражения (−1) + (−19) + (−20) сначала сложи −1 и −19, получи −20, затем добавь ещё −20 и приди к −40. Можно и иначе: сумма модулей 1 + 19 + 20 = 40, общий знак — минус. Оба способа равноправны, если на промежуточных этапах не потеряны знаки отрицательных слагаемых.

Как объяснить смысл текстовых задач

При температуре «снизилась на 7 градусов» означает добавить изменение −7 к текущей отметке. Речь идёт не о том, что «градусы отрицательные» сами по себе, а о том, что произошло уменьшение величины относительно прежнего значения. Если было −4 °C, новое значение −11 °C. Проверка здравым смыслом: после понижения температура должна стать ниже −4 °C, а не выше неё.

В задачах о счёте отрицательный баланс обозначает долг. Добавление ещё одного долга делает итоговый баланс более отрицательным. Например, исходные −35 и новое списание −16 дают −51 условную единицу. Если ученик отвечает −19, он фактически вычитает один долг из другого, хотя в условии оба изменения направлены в сторону уменьшения баланса.

Для задач о перемещениях выбери положительное направление вверх либо вправо и соблюдай его до конца решения. Тогда отрицательное изменение — переход вниз или влево. Значение −40 см говорит о суммарном перемещении на сорок сантиметров в отрицательном направлении, а не об отрицательной длине отрезка. В такой математической модели знак и модуль несут разную информацию; это хороший повод убедиться, что ученик умеет объяснять оба.

Сильному ученику предложите проверить одну сумму дважды: арифметикой модулей и движением по оси. Дополнительные упражнения для этого не нужны — достаточно взять задания 15, 21 или 29. Если оба способа дали одинаковый отрицательный результат, правило применено устойчиво. Для ученика, который ещё путает два знака минус, лучше сначала писать каждое отрицательное слагаемое в скобках.

Подсказки — читать только после первой попытки

  • Для первой ступени: нарисуй стрелку от первого слагаемого влево на количество единиц, равное модулю второго.
  • Для второй ступени: отдели работу с модулем от постановки знака: сначала 76 + 14 = 90, потом верни минус.
  • Для третьей ступени: группируй удобные слагаемые в пределах суммы, например −1 и −19 дают −20.
  • Для четвёртой ступени: слова «понизилась», «добавился долг», «штраф» и «опустился» здесь означают прибавление отрицательного изменения.

Развёрнутые решения: ступень 1 и 2

  1. -7. Модули: 2 + 5 = 7; так как оба слагаемых отрицательные, итог -7.
  2. -7. Модули: 4 + 3 = 7; так как оба слагаемых отрицательные, итог -7.
  3. -10. Модули: 1 + 9 = 10; так как оба слагаемых отрицательные, итог -10.
  4. -12. Модули: 6 + 6 = 12; так как оба слагаемых отрицательные, итог -12.
  5. -9. Модули: 7 + 2 = 9; так как оба слагаемых отрицательные, итог -9.
  6. -11. Модули: 3 + 8 = 11; так как оба слагаемых отрицательные, итог -11.
  7. -10. Модули: 9 + 1 = 10; так как оба слагаемых отрицательные, итог -10.
  8. -9. Модули: 5 + 4 = 9; так как оба слагаемых отрицательные, итог -9.
  9. -20. Модули: 12 + 8 = 20; так как оба слагаемых отрицательные, итог -20.
  10. -32. Модули: 15 + 17 = 32; так как оба слагаемых отрицательные, итог -32.
  11. -30. Модули: 24 + 6 = 30; так как оба слагаемых отрицательные, итог -30.
  12. -50. Модули: 31 + 19 = 50; так как оба слагаемых отрицательные, итог -50.
  13. -100. Модули: 40 + 60 = 100; так как оба слагаемых отрицательные, итог -100.
  14. -90. Модули: 76 + 14 = 90; так как оба слагаемых отрицательные, итог -90.
  15. -100. Модули: 55 + 45 = 100; так как оба слагаемых отрицательные, итог -100.
  16. -155. Модули: 120 + 35 = 155; так как оба слагаемых отрицательные, итог -155.

Развёрнутые решения: ступень 3

  1. -13. Складываем расстояния: 4 + 6 + 3 = 13, знак итоговой суммы отрицательный.
  2. -25. Складываем расстояния: 12 + 8 + 5 = 25, знак итоговой суммы отрицательный.
  3. -40. Складываем расстояния: 1 + 19 + 20 = 40, знак итоговой суммы отрицательный.
  4. -30. Складываем расстояния: 18 + 7 + 5 = 30, знак итоговой суммы отрицательный.
  5. -50. Складываем расстояния: 33 + 11 + 6 = 50, знак итоговой суммы отрицательный.
  6. -60. Складываем расстояния: 25 + 25 + 10 = 60, знак итоговой суммы отрицательный.
  7. -100. Складываем расстояния: 48 + 2 + 50 = 100, знак итоговой суммы отрицательный.

Решения текстовых задач: ступень 4

  1. -11. −4 + (−7) = −11 °C. Два понижения дают движение влево.
  2. -51. −35 + (−16) = −51 рубль. Долг вырос по модулю до 51.
  3. -27. −18 + (−9) = −27 м относительно выбранного нуля.
  4. -25. −13 + (−12) = −25 очков.
  5. -14. −6 + (−8) = −14 °C.
  6. -40. −21 + (−19) = −40 см.
  7. -20. −5 + (−8) + (−7) = −20.

Контроль ошибок и адаптация для класса

Если ученик дал положительное число, попросите отдельно выписать модули слагаемых и объяснить положение результата относительно нуля. Если ошибка только в арифметике, например 76 + 14 посчитано как 80, исправьте вычислительный шаг и сохраните верный знак. Для слабой группы достаточно ступеней 1–2, для сильной полезны ступени 3–4: это не вводит новую тему, а усложняет количество слагаемых и формулировку задачи.

Проверка по границам и обратному рассуждению

Перед точным вычислением оцени, насколько далеко влево сместится точка. В сумме −76 + (−14) обе части ведут в отрицательном направлении: результат обязан быть меньше −76 и меньше −14. Точное значение −90 этим условиям удовлетворяет. Напротив, ответ −62 был бы ближе к нулю, чем −76, и сразу обнаружил бы ошибку, даже если вычисления ещё не проверены.

При сложении трёх отрицательных слагаемых удобно проверить итог альтернативной группировкой. Например, −33 + (−11) + (−6) даёт −44 + (−6) = −50. Другой порядок: −33 + (−17) = −50. Совпадение двух способов показывает, что правила знака и сложения применены согласованно.

В текстовых задачах обязательно подписывай итог единицей: градусы Цельсия, сантиметры, очки или условные единицы баланса. Сам по себе отрицательный ответ без единицы может быть вычислен правильно, но не завершает разбор условия. Учителю полезно проверять математическую модель отдельно от арифметики: ученик мог правильно сложить написанные числа, но неверно выбрать знак изменения из исходной истории.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым