Пошаговый практикум: сокращение дроби после разложения знаменателя — 8 класс

Здесь основное действие направлено на знаменатель. Нужно раскрыть его скрытую структуру, найти общий множитель с числителем и сократить только при ненулевом значении этого множителя. Главный критерий — не потерять запрещённые значения первоначального знаменателя.

Пошаговый образец: (x+3)/(x²+6x+9). Шаг 1: x²+6x+9=(x+3)². Шаг 2: дробь равна (x+3)/[(x+3)(x+3)]. Шаг 3: сокращаем множитель x+3 и получаем 1/(x+3). Шаг 4: сохраняем условие x≠−3. Нельзя сокращать слагаемые x+3 по отдельным частям суммы; сначала нужно предъявить разложение.

Рабочий лист: серия А — вынесите множитель в знаменателе

1. Представьте знаменатель произведением, затем упростите x/(x²+2x) и укажите ОДЗ.
2. Представьте знаменатель произведением, затем упростите a/(3a²+6a) и укажите ОДЗ.
3. Представьте знаменатель произведением, затем упростите 2t/(t²−5t) и укажите ОДЗ.
4. Представьте знаменатель произведением, затем упростите 5y/(y²+4y) и укажите ОДЗ.
5. Представьте знаменатель произведением, затем упростите 3m/(6m²−12m) и укажите ОДЗ.
6. Представьте знаменатель произведением, затем упростите 4p/(8p²+16p) и укажите ОДЗ.
7. Представьте знаменатель произведением, затем упростите 7b/(b²−b) и укажите ОДЗ.
8. Представьте знаменатель произведением, затем упростите 6z/(2z²+10z) и укажите ОДЗ.
9. Представьте знаменатель произведением, затем упростите q/(q²−9q) и укажите ОДЗ.

Рабочий лист: серия Б — разложите квадратный трёхчлен или разность квадратов

10. Разложите знаменатель, сократите (x−4)/(x²−16) и сохраните все запреты.
11. Разложите знаменатель, сократите (a+5)/(a²−25) и сохраните все запреты.
12. Разложите знаменатель, сократите (t+3)/(t²+6t+9) и сохраните все запреты.
13. Разложите знаменатель, сократите (y−2)/(y²−4y+4) и сохраните все запреты.
14. Разложите знаменатель, сократите (m−7)/(m²−49) и сохраните все запреты.
15. Разложите знаменатель, сократите (p+1)/(p²+2p+1) и сохраните все запреты.
16. Разложите знаменатель, сократите (2x−1)/(4x²−1) и сохраните все запреты.
17. Разложите знаменатель, сократите (3u+2)/(9u²−4) и сохраните все запреты.
18. Разложите знаменатель, сократите (z−6)/(z²−12z+36) и сохраните все запреты.

Самостоятельная оценка перед проверкой

На этом листе важно сравнивать две независимые серии: в первой общий множитель виден после вынесения переменной из знаменателя, во второй полезны формулы сокращённого умножения. Учитель может раздать серию А одному ряду, а серию Б — другому, затем поменять листы. Результат без ограничений считается неполным даже при верно сокращённой дроби.

Ответы учителю и схема проверки

1. 1/(x+2), при x ≠ 0, x ≠ −2. Разложение знаменателя показывает сокращаемый множитель; ОДЗ записана до сокращения.
2. 1/[3(a+2)], при a ≠ 0, a ≠ −2. Разложение знаменателя показывает сокращаемый множитель; ОДЗ записана до сокращения.
3. 2/(t−5), при t ≠ 0, t ≠ 5. Разложение знаменателя показывает сокращаемый множитель; ОДЗ записана до сокращения.
4. 5/(y+4), при y ≠ 0, y ≠ −4. Разложение знаменателя показывает сокращаемый множитель; ОДЗ записана до сокращения.
5. 1/[2(m−2)], при m ≠ 0, m ≠ 2. Разложение знаменателя показывает сокращаемый множитель; ОДЗ записана до сокращения.
6. 1/[2(p+2)], при p ≠ 0, p ≠ −2. Разложение знаменателя показывает сокращаемый множитель; ОДЗ записана до сокращения.
7. 7/(b−1), при b ≠ 0, b ≠ 1. Разложение знаменателя показывает сокращаемый множитель; ОДЗ записана до сокращения.
8. 3/(z+5), при z ≠ 0, z ≠ −5. Разложение знаменателя показывает сокращаемый множитель; ОДЗ записана до сокращения.
9. 1/(q−9), при q ≠ 0, q ≠ 9. Разложение знаменателя показывает сокращаемый множитель; ОДЗ записана до сокращения.

10. 1/(x+4), при x ≠ 4, x ≠ −4. Разложение знаменателя показывает сокращаемый множитель; ОДЗ записана до сокращения.
11. 1/(a−5), при a ≠ 5, a ≠ −5. Разложение знаменателя показывает сокращаемый множитель; ОДЗ записана до сокращения.
12. 1/(t+3), при t ≠ −3. Разложение знаменателя показывает сокращаемый множитель; ОДЗ записана до сокращения.
13. 1/(y−2), при y ≠ 2. Разложение знаменателя показывает сокращаемый множитель; ОДЗ записана до сокращения.
14. 1/(m+7), при m ≠ 7, m ≠ −7. Разложение знаменателя показывает сокращаемый множитель; ОДЗ записана до сокращения.
15. 1/(p+1), при p ≠ −1. Разложение знаменателя показывает сокращаемый множитель; ОДЗ записана до сокращения.
16. 1/(2x+1), при x ≠ 1/2, x ≠ −1/2. Разложение знаменателя показывает сокращаемый множитель; ОДЗ записана до сокращения.
17. 1/(3u−2), при u ≠ 2/3, u ≠ −2/3. Разложение знаменателя показывает сокращаемый множитель; ОДЗ записана до сокращения.
18. 1/(z−6), при z ≠ 6. Разложение знаменателя показывает сокращаемый множитель; ОДЗ записана до сокращения.

Как проверять: (1) найдите нули исходного знаменателя; (2) разложите его на множители; (3) выделите общий множитель с числителем; (4) сократите; (5) подставьте в исходную и упрощённую дроби любое допустимое значение. Например, в (x−4)/(x²−16) при x=5 исходное значение 1/9, результат 1/(x+4) тоже 1/9. При x=4 и x=−4 исходное выражение не определено, что подтверждает оба запрета.

Ошибка для обсуждения: иногда ученик пишет «x²−16 = (x−4)²». Проверка раскрытием скобок показывает x²−8x+16, поэтому требуется именно (x−4)(x+4). Ещё одна ошибка — убрать запрет x=−4 после сокращения: в упрощённой дроби он виден, но даже если бы знаменатель исчез полностью, первоначальная ОДЗ сохранялась бы.

Подсказки для независимых серий

В серии А деление числителя и знаменателя на переменную возможно только после того, как знаменатель записан произведением и исключён ноль. Например, 2z²+10z = 2z(z+5), поэтому 6z/(2z²+10z)=3/(z+5) при z≠0 и z≠−5. Если забыть условие z≠0, можно ошибочно считать, что исходная дробь определена в нуле. В серии Б главный навык иной: разложить многочлен знаменателя по формулам и найти скобку, совпадающую с числителем.

Проверка карточек 10–18 проводится в две строки. Первая: разложение, например x²−16=(x−4)(x+4). Вторая: сокращённая форма и ограничения x≠4, x≠−4. Для квадрата двучлена x²+6x+9=(x+3)² полезно нарисовать скобки два раза и только потом сокращать одну. Если ученик пишет «в знаменателе остаётся 1», он потерял вторую скобку. Именно на этом шаге стоит возвращаться к раскрытию скобок как к проверке тождества.

Для учителя важен не только полученный ответ, но и происхождение запретов. Там, где в исходном знаменателе есть два разных линейных множителя, нужно исключить оба значения. Где имеется квадрат одного множителя, запрещённое значение одно, но кратность корня не означает дополнительного ограничения. В заданиях 12, 13, 15 и 18 этот принцип виден особенно ясно. Наконец, разрешённое значение переменной можно выбрать произвольно и сравнить исходную дробь с упрощённой: это проверка вычисления, а не повод забывать область определения.

В задачах этой серии ответы иногда выглядят проще исходных выражений, но именно ограничения связывают обе записи. Попросите ученика придумать разрешённое значение, при котором проверка получается особенно простой, например x=5 для (x−4)/(x²−16), и отдельно показать, что x=4 выбирать для проверки нельзя. Таким образом проверяется понимание преобразования, а не только владение формулами.