Построение гистограммы по интервальной таблице — рабочий лист для 8 класса

Как строить гистограмму без ошибок

Гистограмма отображает частоты данных, сгруппированных по числовым интервалам. При равной ширине интервалов высоты столбиков могут быть равны частотам. При разных ширинах высота должна показывать плотность частоты = частота / ширина интервала, тогда площади прямоугольников отражают частоты. Соседние интервалы соприкасаются, а ширина по горизонтали соответствует настоящей длине интервала. Применяйте правило [a; b) для всех интервалов, кроме последнего [a; b], если нужно включить верхнюю границу.

Шесть неверных построений: найдите и исправьте

1. Ошибка № 1. Для интервалов [0; 5) и [5; 10) нарисовали столбцы с зазором между 5 и 5. Ваше исправление: ____________________.
2. Ошибка № 2. Для [0; 2) с частотой 8 и [2; 6) с частотой 8 нарисовали одинаковые высоты 8 при разных ширинах. Ваше исправление: ____________________.
3. Ошибка № 3. Значение 10 попало одновременно в [5; 10) и [10; 15). Ваше исправление: ____________________.
4. Ошибка № 4. При 18 наблюдениях сумма частот по всем интервалам оказалась 21. Ваше исправление: ____________________.
5. Ошибка № 5. Для интервала [3; 7) ширина была указана 7, потому что правая граница равна 7. Ваше исправление: ____________________.
6. Ошибка № 6. На вертикальной оси отложили значение −2 для частоты интервала. Ваше исправление: ____________________.

Образец гистограммы по неодинаковым интервалам

Представьте, что интервалы длины прыжка составляют [0; 2), [2; 5), [5; 7] метров, а частоты равны 6, 12, 8. Их ширины — 2, 3 и 2 м, плотности частоты — 3, 4 и 4 наблюдения на метр. Постройте три соприкасающихся прямоугольника с указанными ширинами и высотами. Первый имеет площадь 2·3 = 6, второй — 3·4 = 12, третий — 2·4 = 8. Сумма площадей равна сумме 26 наблюдений. Равенство двух последних высот не означает равенства их частот: у второго интервала ширина больше.

Для интервала [2; 5) значение ровно 5 не учитывается, зато учитывается в [5; 7]. Если измерения записывали с точностью до десятых, интервал всё равно понимают по реальной числовой оси; не нужно самовольно сдвигать границы на 0,1. На горизонтальной оси подпишите метры, на вертикальной — плотность частоты «наблюдений на метр». Такой чертёж не смешивает число наблюдений с единицей измеряемой величины.

Самостоятельные задания

1. № 7. Интервалы [0; 4), [4; 8), [8; 12], частоты 6, 9, 5. Найдите общее число значений.
2. № 8. Для [1; 5) частота 12. Найдите ширину и плотность.
3. № 9. Для [5; 10) и [10; 20] частоты 15 и 20. Найдите обе высоты.
4. № 10. При равных интервалах шириной 3 частоты 4, 7, 9. Чему равны плотности?
5. № 11. Прямоугольник ширины 6 имеет высоту плотности 2. Найдите частоту.
6. № 12. Значения 2, 3, 3, 4, 6, 7, 8 распределите по [2; 5), [5; 8), [8; 11].
7. № 13. Две соседние корзины шириной 2 и 5 имеют плотности 4 и 2. Сколько наблюдений всего?
8. № 14. В интервале [0; 10) частота 20, в [10; 15] частота 15. Какая колонка выше при корректном масштабе?
9. № 15. Интервалы [0; 3) и [3; 6] имеют по 9 наблюдений. Нужно ли нормировать высоту на ширину для сравнения?
10. № 16. Найдите пропущенную частоту: всего 36 наблюдений, частоты трёх интервалов — 9, ?, 11.

Ключ: шесть исправлений

1. Интервалы соприкасаются по границе 5, значит прямоугольники на гистограмме должны соседствовать без зазора.
2. Плотности равны 8/2 = 4 и 8/4 = 2. При корректных ширинах площади равны 8 и 8.
3. Десятка не входит в [5; 10), а входит в [10; 15). Учёт должен быть однократным.
4. Есть ошибка распределения по интервалам или дублирование трёх наблюдений. Сумма частот обязана равняться 18.
5. Ширина равна 7 − 3 = 4 единицы.
6. Частота и её плотность не бывают отрицательными; нужно исправить подсчёт или масштаб.

Почему «высота» и «число наблюдений» не всегда одно и то же

Рассмотрим два интервала: первый длиной 1 с частотой 9, второй длиной 3 с частотой 9. При разных ширинах одинаковые частоты изображаются прямоугольниками с высотами 9 и 3. Их площади равны: 1·9 = 9 и 3·3 = 9. Если бы прямоугольники имели равную высоту 9, площадь второго стала бы 27, хотя наблюдений было только 9. Такой рисунок неверно передавал бы таблицу. Для обычной школьной гистограммы из интервалов равной ширины эти сложности исчезают, поэтому часто говорят лишь о высотах частот.

Гистограмма не заменяет вычисление частот. Сначала нужно точно разнести наблюдения по непересекающимся интервалам; только затем считать площади и рисовать. В заданиях с частотами 6, 9 и 5 сумма 20 — обязательный контроль, но сама по себе правильная сумма ещё не гарантирует, что границы интервалов заданы правильно. Если значение попало сразу в два интервала, одно другое могло быть случайно пропущено, сохранив сумму. Проверяйте и правило границ, и общее количество.

Ответы к самостоятельным заданиям

Контрольная проверка без компьютера

Если в таблице указаны 8, 4 и 12 наблюдений для интервалов шириной 2, 1 и 6 единиц, высоты должны быть 4, 4 и 2. Три прямоугольника имеют площади 8, 4 и 12; суммарно 24 — столько же, сколько наблюдений. Если кто-то нарисует высоты 8, 4, 12 при тех же ширинах, площади станут 16, 4 и 72, что не соответствует частотам. Это простая проверка, выявляющая большинство ошибок при неодинаковых интервалах.

Частоты обязаны быть неотрицательными целыми числами, а плотности могут быть дробными. Например, 5 наблюдений на интервал шириной 2 дают плотность 2,5 наблюдения на единицу. Число 2,5 здесь не означает «два с половиной наблюдения»: это отношение частоты к ширине, то есть высота геометрического изображения.

Что написать под готовой гистограммой

Укажите смысл горизонтальной оси и единицу измерения, смысл вертикальной оси (частота или плотность), принятую систему границ интервалов и общее число наблюдений. Интервалы с нулевой частотой не удаляйте из шкалы: они занимают место по горизонтали, но имеют нулевую высоту.