Построение линейного графика по двум экспериментальным измерениям: примеры и объяснения для 7 класса

Лабораторная математическая карточка, 7 класс. По двум измерениям можно провести ровно одну прямую, если их значения аргумента различны. Мы строим линейную модель зависимости, а не утверждаем, что сам эксперимент всегда точно линеен.

Как получить прямую из двух измерений

Пусть измерены пары (x₁; y₁) и (x₂; y₂), причём x₁ ≠ x₂. Угловой коэффициент k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁); свободный член b = y₁ − kx₁. Тогда математическая модель y = kx + b. Две проверочные подстановки должны вернуть оба исходных значения точно.

Пример. При t = 1 мин датчик показал 9 °C, а при t = 4 мин — 18 °C. Скорость изменения k = (18 − 9)/(4 − 1) = 3 °C/мин. Начальное значение модели b = 9 − 3·1 = 6 °C. Получается T = 3t + 6. Для графика отметьте точки (1; 9) и (4; 18), проведите через них прямую и подпишите оси с единицами.

Исходные данные: пять ситуаций

Данные в таблице условные, подобраны для учебной модели. В каждом опыте сами постройте две точки на координатной плоскости: по горизонтали откладывайте величину из столбца X, по вертикали — из столбца Y. Масштаб выбирайте отдельно для каждого случая.

В примере с датчиком растяжения значение при нулевой нагрузке равно 2 мм: это показание шкалы с начальным смещением, а не физическое удлинение идеально откалиброванной пружины.

Вычислительные задания к опытам

Сначала определите k и b, затем выполните три задания к соответствующему опыту. Всего 15 вычислительных заданий. В каждой строке оставьте запись расчёта: k = …, b = …, y = ….

Нагрев датчика

1. Для модели, полученной из двух измерений, определите температуру через 5 минут. Укажите единицу и прокомментируйте, является ли значение интерполяцией или экстраполяцией.
2. Для модели, полученной из двух измерений, определите температуру через 10 минут. Укажите единицу и прокомментируйте, является ли значение интерполяцией или экстраполяцией.
3. Для модели, полученной из двух измерений, определите время для 31 °C. Укажите единицу и прокомментируйте, является ли значение интерполяцией или экстраполяцией.

Объём воды в баке

4. Для модели, полученной из двух измерений, определите объём через 4 минуты. Укажите единицу и прокомментируйте, является ли значение интерполяцией или экстраполяцией.
5. Для модели, полученной из двух измерений, определите объём через 11 минут. Укажите единицу и прокомментируйте, является ли значение интерполяцией или экстраполяцией.
6. Для модели, полученной из двух измерений, определите время полного опустошения при сохранении той же скорости. Укажите единицу и прокомментируйте, является ли значение интерполяцией или экстраполяцией.

Показание датчика растяжения

7. Для модели, полученной из двух измерений, определите показание шкалы при массе 2,5 кг. Укажите единицу и прокомментируйте, является ли значение интерполяцией или экстраполяцией.
8. Для модели, полученной из двух измерений, определите показание шкалы при массе 3 кг. Укажите единицу и прокомментируйте, является ли значение интерполяцией или экстраполяцией.
9. Для модели, полученной из двух измерений, определите массу при показании 26 мм. Укажите единицу и прокомментируйте, является ли значение интерполяцией или экстраполяцией.

Показания счётчика энергии

10. Для модели, полученной из двух измерений, определите показание через 5 часов. Укажите единицу и прокомментируйте, является ли значение интерполяцией или экстраполяцией.
11. Для модели, полученной из двух измерений, определите показание через 9 часов. Укажите единицу и прокомментируйте, является ли значение интерполяцией или экстраполяцией.
12. Для модели, полученной из двух измерений, определите время, когда показание равно 24 кВт·ч. Укажите единицу и прокомментируйте, является ли значение интерполяцией или экстраполяцией.

Стоимость поездки

13. Для модели, полученной из двух измерений, определите стоимость для 7 км. Укажите единицу и прокомментируйте, является ли значение интерполяцией или экстраполяцией.
14. Для модели, полученной из двух измерений, определите стоимость для 2 км. Укажите единицу и прокомментируйте, является ли значение интерполяцией или экстраполяцией.
15. Для модели, полученной из двух измерений, определите расстояние при стоимости 1990 ₽. Укажите единицу и прокомментируйте, является ли значение интерполяцией или экстраполяцией.

Задание 16. Что можно заключить из двух измерений?

Два измерения (0; 2) и (2; 6) лежат на прямой y = 2x + 2. Доказывают ли они, что все будущие показания обязаны лежать на этой прямой? Объясните, какое дополнительное наблюдение нужно для проверки гипотезы.

Ответы и сверка исходных измерений

Решения заданий 1–15

1. Подставляем X = 5 в Y = 3·X + 13: 28 °C; внутри интервала измерений.
2. Подставляем X = 10 в Y = 3·X + 13: 43 °C; вне интервала измерений.
3. Решаем обратную задачу из Y = 3·X + 13: (31 − 13) / 3 = 6 мин; это значение аргумента, внутри интервала измерений.
4. Подставляем X = 4 в Y = -4·X + 78: 62 л; внутри интервала измерений.
5. Подставляем X = 11 в Y = -4·X + 78: 34 л; вне интервала измерений.
6. Решаем обратную задачу из Y = -4·X + 78: (78 − 0) / 4 = 19,5 мин; это значение аргумента, вне интервала измерений.
7. Подставляем X = 5/2 в Y = 4·X + 2: 12 мм; внутри интервала измерений.
8. Подставляем X = 3 в Y = 4·X + 2: 14 мм; внутри интервала измерений.
9. Решаем обратную задачу из Y = 4·X + 2: (26 − 2) / 4 = 6 кг; это значение аргумента, вне интервала измерений.
10. Подставляем X = 5 в Y = 2·X + 2: 12 кВт·ч; внутри интервала измерений.
11. Подставляем X = 9 в Y = 2·X + 2: 20 кВт·ч; вне интервала измерений.
12. Решаем обратную задачу из Y = 2·X + 2: (24 − 2) / 2 = 11 ч; это значение аргумента, вне интервала измерений.
13. Подставляем X = 7 в Y = 120·X + 430: 1270 ₽; внутри интервала измерений.
14. Подставляем X = 2 в Y = 120·X + 430: 670 ₽; вне интервала измерений.
15. Решаем обратную задачу из Y = 120·X + 430: (1990 − 430) / 120 = 13 км; это значение аргумента, вне интервала измерений.

Ответ к заданию 16 и смысл графика

Нет. Через эти две точки проходит ровно одна прямая, но реальные измерения могут содержать погрешность или зависимость может перестать быть линейной за границей опыта. Чтобы проверить модель, нужно получить новые пары измерений (лучше между исходными значениями и за их пределами), нанести их на тот же график и сравнить с расчётными значениями.

Интерполяция — оценка внутри наблюдавшегося промежутка X; экстраполяция — за его пределами, она рискованнее. В кейсе с баком вычисление момента опустошения допускается только как модель при неизменном расходе: отрицательный объём физически невозможен. Сравните знак k и направление прямой: положительный коэффициент соответствует росту, отрицательный — убыванию.