Построение решения неравенства на прямой: самостоятельная работа для 8 класса

Этот лист помогает перейти от алгебраического ответа к изображению на координатной прямой. Он рассчитан на 8 класс: ученик отмечает граничную точку, выбирает пустой или закрашенный кружок и проводит луч в сторону подходящих чисел. Задания можно распечатать; ключи намеренно находятся после самостоятельной работы.

Мини-напоминание: три решения одной задачи

Возьмём x > 2. Запись неравенства, график и числовой промежуток (2; +∞) обозначают одно и то же множество. На рисунке около 2 ставим пустой кружок, потому что сама двойка не подходит, и рисуем луч вправо. Для x ≤ 2 кружок закрашен, а луч направлен влево. Шкалу можно чертить схематично, но направление и вид кружка обязаны быть правильными.

Разминка: шесть рисунков без вычислений

На отдельной прямой изобразите решения каждого пункта и запишите соответствующий промежуток. Проставьте числа на шкале сами. После рисунка проверьте одной подстановкой: возьмите число на отмеченном луче и число вне его.

1. x > 3. На рисунке отметь границу, поставь нужный кружок и направь луч.
2. x ≤ -2. На рисунке отметь границу, поставь нужный кружок и направь луч.
3. x ≥ 0. На рисунке отметь границу, поставь нужный кружок и направь луч.
4. x < 5. На рисунке отметь границу, поставь нужный кружок и направь луч.
5. x > -4. На рисунке отметь границу, поставь нужный кружок и направь луч.
6. x ≤ 6. На рисунке отметь границу, поставь нужный кружок и направь луч.

Задания с пропусками: сначала найди границу

В этих примерах первое действие — преобразование неравенства. Заполните строки «x ___ …», «кружок ___», «луч ___». В пункте с отрицательным коэффициентом проверяйте, не пришлось ли изменить знак неравенства при делении.

7. x + 3 < 8. После решения: x ______; кружок ______; луч ______.
8. 2x ≥ 10. После решения: x ______; кружок ______; луч ______.
9. −x > -3. После решения: x ______; кружок ______; луч ______.
10. 3x − 2 ≤ 7. После решения: x ______; кружок ______; луч ______.

Самостоятельная работа — 6 графиков

Не смотрите в ключ. Для каждого неравенства запишите решение в виде неравенства и промежутка, затем нарисуйте свою координатную прямую. Если коэффициент при x отрицательный, нельзя просто делить, сохраняя направление знака. Для самопроверки оцените, подходит ли 0 и совпадает ли это с рисунком.

11. 2x + 1 > 9. Решение x ______; промежуток ______; рисунок на отдельной строке.
12. -2x + 5 ≥ 1. Решение x ______; промежуток ______; рисунок на отдельной строке.
13. 3x + 4 < -2. Решение x ______; промежуток ______; рисунок на отдельной строке.
14. -3x − 1 ≤ 8. Решение x ______; промежуток ______; рисунок на отдельной строке.
15. 4x − 5 ≥ 3. Решение x ______; промежуток ______; рисунок на отдельной строке.
16. -2x + 7 < 1. Решение x ______; промежуток ______; рисунок на отдельной строке.

Перед проверкой: как понять рисунок без специальных инструментов

На бумажной прямой достаточно карандаша и линейки. Сначала проведите горизонтальный луч и обозначьте точку 0; затем нанесите 1 и −1 на одинаковом расстоянии от нуля. При работе с отрицательными границами не забывайте: −5 находится левее −2, хотя модуль числа 5 больше. Отложите нужную точку, подпишите её число, а затем только выбирайте кружок и направление.

Два типичных неверных рисунка выглядят почти правильно. В первом закрашен кружок у x > 4: это ошибочно добавляет число 4 к ответу. Во втором при x ≤ −1 луч нарисован вправо: это показывает числа больше −1, а не меньше. Подстановка чисел −2 и 0 быстро обнаружит ошибку. В упражнениях с дробной границей правило полностью такое же: для x > 2,5 отметьте 2,5 между 2 и 3 и направьте луч вправо.

Самостоятельное объяснение полезнее механического угадывания. Попросите ученика ответить тремя предложениями: «Я получил границу …», «Я поставил пустую/закрашенную точку, потому что …», «Мой луч направлен …, так как подходящие числа …». Этой формулировки достаточно, чтобы отличить освоенный навык от случайно верного графика.

Ключ для учителя и самопроверки

Во всех шестнадцати пунктах указаны верное алгебраическое решение и промежуток. По ним можно восстановить кружок и луч по таблице выше. Различайте оформление ответов в России и Казахстане: допускаются эквивалентные способы записи бесконечности, но крайняя точка не может быть включена при строгом знаке.

1. x > 3; промежуток (3; +∞). Граница читается непосредственно из условия.
2. x ≤ -2; промежуток (−∞; -2]. Граница читается непосредственно из условия.
3. x ≥ 0; промежуток [0; +∞). Граница читается непосредственно из условия.
4. x < 5; промежуток (−∞; 5). Граница читается непосредственно из условия.
5. x > -4; промежуток (-4; +∞). Граница читается непосредственно из условия.
6. x ≤ 6; промежуток (−∞; 6]. Граница читается непосредственно из условия.
7. x < 5; промежуток (−∞; 5). После переноса и деления получаем x < 5.
8. x ≥ 5; промежуток [5; +∞). После переноса и деления получаем x ≥ 5.
9. x < 3; промежуток (−∞; 3). После переноса и деления получаем x < 3; при делении на отрицательное число знак меняется.
10. x ≤ 3; промежуток (−∞; 3]. После переноса и деления получаем x ≤ 3.
11. x > 4; промежуток (4; +∞). После переноса и деления получаем x > 4.
12. x ≤ 2; промежуток (−∞; 2]. После переноса и деления получаем x ≤ 2; при делении на отрицательное число знак меняется.
13. x < -2; промежуток (−∞; -2). После переноса и деления получаем x < -2.
14. x ≥ -3; промежуток [-3; +∞). После переноса и деления получаем x ≥ -3; при делении на отрицательное число знак меняется.
15. x ≥ 2; промежуток [2; +∞). После переноса и деления получаем x ≥ 2.
16. x > 3; промежуток (3; +∞). После переноса и деления получаем x > 3; при делении на отрицательное число знак меняется.

Оценивание: за каждый пункт — 1 балл за правильный промежуток и 1 балл за корректную граничную точку и направление луча. Если ученик перепутал границу, сначала повторите перенос слагаемых; если перепутал закрашивание, предложите подставить именно граничное число и определить, удовлетворяет ли оно неравенству.