Построение целевой функции для минимального расхода материала: тематические карточки для 11 класса

11 класс · оптимизация · две конструкции, два вида расхода материала

Сравниваются два независимых способа изготовления ёмкости с квадратным основанием: открытая сверху и закрытая крышкой. В обоих случаях задаётся фиксированный объём V, сторона основания x>0, высота h=V/x². Нельзя путать минимизацию площади материала с максимизацией вместимости. При открытом верхе S=x²+4xh, при наличии крышки S=2x²+4xh. Здесь все размеры измеряются в дм, площадь — в дм², объём — в дм³.

Вариант А. Открытый короб объёмом 32 дм³

Подстановка h=32/x² даёт S_A(x)=x²+128/x при x>0. Производная S′=2x−128/x² обращается в нуль при x³=64, то есть x=4, h=2, S=48 дм². Это минимум, поскольку S уменьшается до x=4 и возрастает после неё.

Вариант Б. Закрытый контейнер объёмом 64 дм³

Другая конструкция требует и нижнюю, и верхнюю панели. Тогда S_Б(x)=2x²+256/x, x>0; S′=4x−256/x². Стационарная точка: x³=64, то есть x=4, h=4. Минимальная площадь равна 96 дм². Хотя оптимальная сторона здесь тоже равна 4, высота и расход не совпадают с вариантом А.

Взаимная проверка решений

Критерий качества модели: каждую грань учитывают ровно один раз; площадь не складывают с объёмом; обе функции имеют единицы дм²; ограничения x>0 и h>0 обязательны. Ученики обмениваются моделями, сначала восстанавливают h по объёму, а затем проверяют указанную площадь прямой подстановкой. Для уверенного вывода о минимуме полезно показать, что при x→0+ и x→+∞ расход материала неограниченно возрастает.

Дополнительная проверка: зачем производная и как считать стенки

У открытой коробки при фиксированном объёме уменьшение x заставляет резко увеличивать высоту h=V/x². Поэтому при малом основании площадь стенок 4xh=4V/x становится очень большой. Если же увеличивать x без ограничения, быстро растёт площадь дна x². Между этими крайностями существует наиболее экономная конструкция. Формально S′′_A(x)=2+256/x³>0 при x>0, а значит найденная единственная стационарная точка действительно даёт строгий минимум. Это подтверждает расчёт, а не заменяет проверку геометрии.

Для закрытого контейнера по мере уменьшения x также резко возрастает площадь стенок. При очень широком дне уже две горизонтальные грани дают 2x², из-за чего расход снова увеличивается. Здесь S′′_Б(x)=4+512/x³>0 для x>0. Формулы второй производной позволяют подтвердить, что критическая точка не является максимумом. Различие между одной и двумя горизонтальными панелями принципиально: при одинаковой вместимости пропуск крышки занизит расход материала.

Проверка условий на практике: если высота ограничена сверху, равенство h=V/x² превращает это в нижнюю границу для x. Если установлено ограничение на площадь основания, то задаётся ещё одно неравенство для x². В реальной задаче такие дополнительные условия могут сместить минимум с внутренней критической точки на границу допустимого интервала. Изготовитель должен также уточнить толщину материала и припуски на соединения; здесь по условию они не учитываются, так как речь идёт об идеализированной геометрической модели.