Построение целевой функции для объёма коробки из листа — карточки с ответами, 11 класс

11 класс · оптимизация · изготовление коробки из листа

Подозрительное утверждение: «Чем больше квадраты вырезать из углов листа, тем вместительнее коробка». Это неверно: увеличение высоты уменьшает размеры дна, и после некоторого момента объём начинает снижаться. Нужно найти баланс. Из прямоугольного листа a×b вырезают по углам четыре одинаковых квадрата стороны x, после чего бортики загибают. Получится открытая коробка высотой x и основанием (a−2x)×(b−2x).

Целевая функция V(x)=x(a−2x)(b−2x). Область допустимых значений 0<x<min(a,b)/2. На концах этого интервала объём равен нулю, но сама недегenerate коробка не получается. Максимум внутренней точки проверяют по производной и области допустимых значений; просто взять корень V′=0 недостаточно.

Доказательство формулы на квадратном листе

Пусть исходный лист 24×24 см. Тогда V(x)=x(24−2x)², 0<x<12. После дифференцирования V′(x)=(24−2x)(24−6x). Кандидат x=4 см внутри области; x=12 см — вырожденный край. При x=4 получаются размеры 16×16×4 см и объём 1024 см³. Производная положительна слева от 4 и отрицательна справа: максимум обоснован.

Почему доказательство важно

У оптимального решения есть три обязательных части: корректная геометрическая интерпретация каждой длины, допустимый интервал x и проверка экстремума. Если оставить только производную, можно выбрать неподходящее значение с отрицательной шириной дна. Если оставить только исходную формулу, можно не заметить, что объём возрастает, а затем убывает. Значения на границах используются как проверка поведения, но не как рабочие проекты коробок.

Учитель может предложить дополнительно нарисовать схему листа с четырьмя вырезами и подписать x, a−2x, b−2x. Для распечатки все ключевые данные содержатся прямо в тексте — на интерактивные чертежи и внешние библиотеки материал не опирается.

Полное доказательство для произвольного прямоугольного листа

Чтобы построить модель без рисунка, мысленно разделите задачу на три действия. Сначала из каждого угла вырезают квадрат со стороной x, поэтому горизонтальный размер основания уменьшается на x слева и на x справа: a−2x. Аналогично второй размер равен b−2x. Затем все бортики высотой x поднимают под прямым углом. Только после этого можно перемножить три положительные длины. В результате V=abx−2(a+b)x²+4x³. Это кубическая, а не квадратичная функция, поскольку изменяются сразу все три размера будущей коробки.

Производная равна V′(x)=ab−4(a+b)x+12x². Решение уравнения V′=0 даёт две алгебраические кандидатуры x=((a+b)±√(a²−ab+b²))/6. Если a≥b>0, меньший из двух корней находится внутри (0;b/2), а второй не даёт внутреннюю точку максимума готовой коробки. Для x вблизи нуля объём растёт, а вблизи b/2 убывает к нулю. Это доказывает, что допустимая меньшая критическая точка и есть максимум. Необходимо указывать именно меньший корень, а не выбирать численно больший в надежде получить больший объём.

Разбор случая с разными сторонами: 30 на 18 сантиметров

Для такого листа область 0

Три типичные ошибки в доказательстве

Первая ошибка — потеря двойки: a−x вместо a−2x. Она появляется, если забыть, что квадрат удаляется с обоих краёв. Вторая ошибка — нестрогое ограничение 0≤x≤b/2: в крайних точках получится лист или плоская конструкция с нулевым объёмом, а не полноценная коробка. Третья ошибка — записать, что объём максимален в любой стационарной точке. Для многочлена с двумя критическими корнями это особенно опасно. Проверка знака производной и геометрической допустимости позволяет устранить все три ошибки.

Контрольная подстановка: для листа 24×12 см при x=2 см объём 320 см³; при x=3 см — 324 см³, а непрерывный максимум достигается немного левее трёх сантиметров, при x=6−2√3. Это показывает, почему проверка только двух целых значений не доказывает точного оптимума. Если производство разрешает лишь целое число сантиметров, требуется отдельно сравнить целочисленные допустимые варианты. Без такого условия округлять оптимальную высоту до ближайшего целого было бы математически некорректно.