Построение целевой функции при заданном периметре прямоугольника — математический практикум для 11 класса
11 класс · оптимизация · модель прямоугольника с фиксированным периметром
Школьный двор получил 60 м ограждения для прямоугольного учебного участка. Требуется построить целевую функцию площади и выбрать размеры, а не угадывать оптимум по рисунку. Обозначим одну сторону через x метров, другую через y метров. Из 2x+2y=60 следует y=30−x, поэтому площадь S(x)=x(30−x), 0<x<30. Размерности: стороны — метры, площадь — м².
Содержание статьи18 разделов
Исходные данные задачи
| Параметр | Значение | Что означает |
|---|---|---|
| Ограждение | 60 м | Ровно по четырём сторонам |
| Разрешённая ширина прохода | не менее 6 м | Ограничение на выбранную короткую сторону x |
| Ширина на участке | не более 12 м | Дополнительное ограничение x ≤ 12 |
| Цель | максимум площади | S(x)=x(30−x) |
Здесь по условию за x берём сторону у дорожки, которую допускается выбирать только от 6 до 12 м. Таким образом, область допустимых значений — 6 ≤ x ≤ 12; без неё ответ об оптимальной ширине окажется не относящимся к реальному объекту.
Серия вопросов к одной модели
Задание 1
Проверка плана №1: выбран размер стороны у дорожки x=6 м. Найдите y, площадь, проверьте ограничение 6 ≤ x ≤ 12 и единицы.
Ответ и проверка. y=30−6=24 м; S=6·24=144 м². План допустим. Контроль периметра: 2·(6+24)=60 м.
Задание 2
Проверка плана №2: выбран размер стороны у дорожки x=8 м. Найдите y, площадь, проверьте ограничение 6 ≤ x ≤ 12 и единицы.
Ответ и проверка. y=30−8=22 м; S=8·22=176 м². План допустим. Контроль периметра: 2·(8+22)=60 м.
Задание 3
Проверка плана №3: выбран размер стороны у дорожки x=10 м. Найдите y, площадь, проверьте ограничение 6 ≤ x ≤ 12 и единицы.
Ответ и проверка. y=30−10=20 м; S=10·20=200 м². План допустим. Контроль периметра: 2·(10+20)=60 м.
Задание 4
Проверка плана №4: выбран размер стороны у дорожки x=12 м. Найдите y, площадь, проверьте ограничение 6 ≤ x ≤ 12 и единицы.
Ответ и проверка. y=30−12=18 м; S=12·18=216 м². План допустим. Контроль периметра: 2·(12+18)=60 м.
Задание 5
Строитель предложил размеры 15 м × 15 м и назвал их наилучшими. Согласны ли вы для данного участка?
Ответ и проверка. Площадь 225 м², но x=15 нарушает x≤12; в поставленной задаче предложение недопустимо. Максимум при x=12 даёт 216 м². Без ограничений квадрат действительно максимизирует площадь при заданном периметре.
Задание 6
Другой строитель сообщил: «S(x)=60x−x²». Найдите ошибку при переводе периметра в формулу.
Ответ и проверка. Забыли поделить периметр на два: x+y=30, а не 60. Верная функция S(x)=30x−x².
Задание 7
С помощью производной определите направление изменения S на отрезке от 6 до 12.
Ответ и проверка. S′(x)=30−2x>0 на [6;12]; площадь возрастает. Следовательно, наибольшая допустимая площадь достигается при x=12 и равна 216 м².
Задание 8
Дорожку расширили: новая разрешённая ширина x теперь от 8 до 11 м. Составьте ограничения и найдите максимум.
Ответ и проверка. 8≤x≤11. На этом отрезке S′>0, значит максимум S(11)=11·19=209 м². Нельзя использовать x=12 из предыдущего варианта.
Задание 9
К ограждению добавили 12 м. Получилось 72 м на все четыре стороны. Составьте новую функцию площади.
Ответ и проверка. 2x+2y=72, значит y=36−x и S(x)=x(36−x). Область 0
Задание 10
Для периметра 72 м и ограничения 6≤x≤12 выберите оптимальную ширину.
Ответ и проверка. S′(x)=36−2x>0 на всём [6;12]. Оптимум x=12, y=24, S=288 м².
Задание 11
Периметр участка 64 м; проход допускает x от 10 до 14 м. Запишите функцию и область допустимых значений.
Ответ и проверка. y=32−x, S(x)=32x−x², 10≤x≤14. Требование положительности y автоматически соблюдается на указанном отрезке.
Задание 12
Для периметра 64 м сравните допустимые проекты x=11 и x=14.
Ответ и проверка. S(11)=11·21=231 м²; S(14)=14·18=252 м². Второй проект даёт на 21 м² больше.
Задание 13
При общем периметре 48 м ширина x должна быть ровно 8 м. Найдите цель и поясните, почему оптимизация отсутствует.
Ответ и проверка. S(x)=x(24−x), но x уже зафиксирована: y=16 м, площадь 128 м². Нет свободного параметра для выбора.
Задание 14
Проверка единиц: один участник написал S(10)=200 м при периметре 60 м. Исправьте ответ и оцените разумность.
Ответ и проверка. S(10)=200 м². Это меньше 225 м² — максимально возможной площади без дополнительных ограничений; результат разумен.
Обоснование решения и вывод
Преобразование S(x)=225−(x−15)² показывает, почему без ограничений квадрат 15×15 максимален. Однако реальное ограничение x≤12 обрезает область слева от вершины параболы, и максимум переносится на её правую границу. При постановке прикладной задачи сначала пишут периметр, затем выражают вторую сторону, затем составляют целевую функцию, затем определяют область допустимых размеров и только после этого ищут максимум.
Итоговая проверка плана: длина каждой стороны положительна, все ограничения выполнены, размер ограждения исчерпан без превышения, квадратные метры в ответе указаны верно. Эти пункты важнее красивого численного результата, полученного из неподходящей модели.
Как проверить максимум, не полагаясь на чертёж
Полезно рассмотреть три последовательные проверки. Первая — физическая: сумма длин противоположных сторон равна периметру 60 м, а обе стороны положительны. Вторая — алгебраическая: при x=6, 8, 10, 12 значения S возрастают; это не доказательство для всех вещественных x, но полезная проверка вычислений. Третья — аналитическая: S′(x)=30−2x, а на всём допустимом отрезке [6;12] производная положительна. Поэтому надо взять его правый конец, а не вершину параболы x=15, которая лежит вне ограничений.
Чтобы различить цель и ограничение, замените словесное описание на формулы: «имеется ровно 60 метров ограды» становится равенством 2x+2y=60; «ширина прохода не меньше шести» даёт x≥6; «не шире двенадцати» даёт x≤12; «площадь наибольшая» означает S=xy→max. Если случайно написать S=2x+2y, то получится не площадь, а уже фиксированный периметр, и оптимизация потеряет смысл. Размерность помогает сразу увидеть такую ошибку.
В условиях строительства часто появляется дополнительный отступ или дорожка. Его не следует включать в размер исходного прямоугольника, пока условие прямо не сообщает, что дорожка лежит внутри ограждения. Изменение реального условия приводит к новой модели, а не к механической замене одного числа. Отсюда практический вывод: сначала подробно сформулируйте область допустимых размеров, затем ищите максимум и только потом сравнивайте проекты по площади.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.