Построение знаковой схемы для параболы без нулей — карточки с ответами, 9 класс

Ситуация и цель. Школьная мастерская испытывает алгоритм контроля показаний. В отчёте есть три математических индекса P(t), Q(t) и R(t), зависящих от момента t. Индексы условные, без физических единиц: их знаки помогают понять, может ли показатель достигнуть нуля. Нужно составить знаковую схему для трёх парабол без действительных нулей, а не найти «точки пересечения», которых не существует.

Одна модель измеряет положительный запас относительно условного порога, другая — отрицательное отклонение. Формулы задают параболы на всей действительной оси; таблица t=0,…,5 лишь наблюдения. Знак в шести строках — подсказка, но не доказательство поведения для всех t. За доказательство отвечает формула выделенного квадрата или дискриминант.

Исходные данные контрольных измерений

Основная идея: если D = b² − 4ac < 0, квадратичный трёхчлен ax²+bx+c не имеет действительных корней и не меняет знак на ℝ. При a > 0 его значения всюду положительны; при a < 0 — всюду отрицательны. Поэтому знаковая схема — одна непрерывная полоса одного знака, без разделяющих её нулей. Два выделенных корня в ответе при D < 0 означают математическую ошибку.

Тринадцать связанных вопросов по данным и модели

Задание 1. Вычислите P(6), продолжив таблицу на один момент, и определите знак.

Задание 2. Докажите по квадрату, что P(t) не обращается в ноль ни при каком действительном t.

Задание 3. Запишите P(t) без скобок и найдите его дискриминант.

Задание 4. Начертите словами знаковую схему P: сколько промежутков и какой знак?

Задание 5. Найдите все t ∈ ℝ, для которых P(t) < 0. Почему таблица не является единственным основанием ответа?

Задание 6. Вычислите Q(6) и сравните с Q(2); объясните, в какой точке парабола достигает максимума.

Задание 7. Запишите Q(t) в стандартном виде и вычислите дискриминант.

Задание 8. Составьте знаковую схему Q на всей ℝ и решите Q(t) ≥ 0.

Задание 9. Каков набор решений Q(t) < 0 при ограничении наблюдений 0 ≤ t ≤ 5?

Задание 10. Из исходной таблицы найдите R(1), а затем докажите, что это наименьшее значение R(t).

Задание 11. Вычислите D для R(t) и сравните знак R(t) со знаком его старшего коэффициента.

Задание 12. Решите систему условий P(t) > 0 и Q(t) < 0 при t ∈ ℝ.

Задание 13. Ученик отметил точку t=2 как ноль Q, потому что при t=2 обращается в ноль квадрат (t−2)². Объясните ошибку и напишите правильную знаковую схему.

Математическая модель и полные решения

Знаковая схема не зависит от того, рассматривается ли t как время или как произвольный аргумент. Сначала исследуем всю действительную область. Уже после этого пересекаем найденный набор с допустимым интервалом наблюдений. Именно такой порядок предотвращает ошибку «в таблице нулей не было, значит их нигде не бывает».

1. P(6)=(6−3)²+2=11 > 0; последняя табличная точка также положительна, но вывод для всех t потребует отдельного доказательства.

2. (t−3)² ≥ 0, следовательно P(t)=(t−3)²+2 ≥ 2 > 0. Нулей нет, минимум достигается при t=3.

3. P(t)=t²−6t+11, D=(−6)²−4·1·11=36−44=−8 < 0. Это соответствует строгой положительности.

4. По всей прямой (−∞; +∞) ставим один знак «+». Нулевых точек и разбиения оси на несколько промежутков нет.

5. Ответ ∅. Не только шесть чисел таблицы, но и оценка P(t) ≥ 2 доказывает отсутствие отрицательных значений.

6. Q(6)=−2·16−3=−35, Q(2)=−3. Поскольку −2(t−2)² ≤ 0, наибольшее значение Q равно −3 в t=2.

7. Q(t)=−2t²+8t−11; D=8²−4·(−2)·(−11)=64−88=−24 < 0.

8. Поскольку Q(t) ≤ −3 < 0, знак «−» на всей ℝ. Решений Q(t) ≥ 0 нет: ∅.

9. Условие Q(t) < 0 истинно при всех t, но разрешены только наблюдения от 0 до 5: ответ [0; 5].

10. R(1)=3·0²+1=1; квадрат неотрицателен, поэтому R(t) ≥ 1 для любого t. Минимум равен 1.

11. R(t)=3t²−6t+4; D=(−6)²−4·3·4=36−48=−12. Старший коэффициент положителен, значит и вся функция положительна.

12. Оба неравенства истинны при любом t: P(t)≥2, Q(t)≤−3. Пересечение — вся ℝ.

13. При t=2 квадрат действительно нуль, но Q(2)=−3, а не 0. У всей параболы единственный постоянный знак «−», ответ для Q(t)<0 — ℝ.

Как проверить разумность результата

Сравните таблицу с выводами: в каждом столбце знак одинаков, но сами значения различаются. Параболы P и R ветвями направлены вверх, а Q — вниз; наличие вершины не означает наличия пересечения с осью. Для функции y=a(t−h)²+k, где a и k строго одного знака, вся парабола лежит по одну сторону оси Ox. Это частный, но удобный способ проверки.

Если в задаче появляется требование t∈[0;5], не меняйте глобальный знак функции: меняется только множество допустимых аргументов. Например, P(t)>0 истинно на всей ℝ, а P(t)>0 при t∈[0;5] имеет ответ [0;5]. Аналогично условие Q(t)≥0 не имеет решения ни на всей прямой, ни внутри таблицы.

Итоговая самопроверка: для любой из трёх формул попробуйте подставить t на одну единицу левее или правее вершины. Знак должен остаться тем же. Если при поиске корней через формулу обнаружили √(−8), √(−24) или √(−12), не подменяйте отрицательный дискриминант нулём и не записывайте мнимые значения как действительные точки знаковой схемы.

За каждый из 13 вопросов начислите по 1 баллу за ответ и по 1 за убедительное вычисление или объяснение. Всего 26 баллов. Работа особенно полезна для различения двух утверждений: «парабола не пересекает ось» и «парабола не имеет вершины». Второе утверждение неверно: вершина есть у любой невырожденной квадратичной функции, но корней у функции может не быть.