Построение знаковой схемы при заданном конечном промежутке — задания с разбором, 9 класс

Учебный маршрут. Нужно восстановить или проверить знаковую схему, если указан конечный промежуток решений квадратного неравенства. Для двух различных нулей l < r выражение (x−l)(x−r) отрицательно строго внутри (l;r) и положительно снаружи. Поэтому заданный ограниченный интервал часто позволяет определить не только корни, но и направление ветвей и знак неравенства.

Лёгкий старт — от готового промежутка к произведению

Для каждого заданного множества запишите один подходящий квадратный трёхчлен и неравенство вида f(x) < 0 или f(x) ≤ 0. Используйте f(x)=(x−l)(x−r). Не путайте замкнутый отрезок [l;r] и открытый интервал (l;r). Объясните, почему знак между корнями отрицателен при старшем коэффициенте +1.

Задание 1. Требуется получить множество (-5; -1). Подберите квадратное неравенство с целыми коэффициентами, постройте схему и укажите, входят ли концы.

Задание 2. Требуется получить множество [2; 8]. Подберите квадратное неравенство с целыми коэффициентами, постройте схему и укажите, входят ли концы.

Задание 3. Требуется получить множество (-3; 4). Подберите квадратное неравенство с целыми коэффициентами, постройте схему и укажите, входят ли концы.

Задание 4. Требуется получить множество [0; 7]. Подберите квадратное неравенство с целыми коэффициентами, постройте схему и укажите, входят ли концы.

Задание 5. Требуется получить множество (-8; -2). Подберите квадратное неравенство с целыми коэффициентами, постройте схему и укажите, входят ли концы.

Задание 6. Требуется получить множество [1; 6]. Подберите квадратное неравенство с целыми коэффициентами, постройте схему и укажите, входят ли концы.

Развилка «верная схема или ошибка?»

Сейчас даны одновременно квадратное неравенство и предложенный учеником конечный промежуток. Некоторые утверждения верны, другие опровергаются знаком старшего коэффициента или скобками. Не исправляйте только словесный ответ: напишите полный правильный набор решений.

Задание 7. Дано 1(x−(1))(x−(5)) < 0. Ученик записал ответ (1; 5). Верно ли? Проверьте знак внутри (1;5) и на внешних лучах.

Задание 8. Дано -1(x−(-4))(x−(2)) > 0. Ученик записал ответ (−4; 2). Верно ли? Проверьте знак внутри (-4;2) и на внешних лучах.

Задание 9. Дано 1(x−(-6))(x−(-2)) ≤ 0. Ученик записал ответ [−6; −2]. Верно ли? Проверьте знак внутри (-6;-2) и на внешних лучах.

Задание 10. Дано -3(x−(0))(x−(4)) ≥ 0. Ученик записал ответ [0; 4]. Верно ли? Проверьте знак внутри (0;4) и на внешних лучах.

Задание 11. Дано 2(x−(2))(x−(9)) ≤ 0. Ученик записал ответ (2; 9). Верно ли? Проверьте знак внутри (2;9) и на внешних лучах.

Задание 12. Дано -1(x−(-3))(x−(6)) ≥ 0. Ученик записал ответ [−3; 6]. Верно ли? Проверьте знак внутри (-3;6) и на внешних лучах.

Финиш маршрута — интервал задан вместе с ограничением области

Иногда математическая модель разрешает только x внутри диапазона наблюдений [L;R]. Сначала решите квадратное неравенство на всей числовой прямой, затем возьмите пересечение с [L;R]. Даже если глобальное множество представляет собой два луча, после ограничения может остаться один или два конечных отрезка. Записывайте границы после пересечения, не до него.

Задание 13. Область наблюдений x ∈ [-2; 5]; требуется решить 1(x−(1))(x−(7)) < 0. Постройте глобальную схему, затем найдите только допустимые x.

Задание 14. Область наблюдений x ∈ [1; 8]; требуется решить 1(x−(-3))(x−(5)) ≤ 0. Постройте глобальную схему, затем найдите только допустимые x.

Задание 15. Область наблюдений x ∈ [-4; 4]; требуется решить -1(x−(-1))(x−(6)) > 0. Постройте глобальную схему, затем найдите только допустимые x.

Задание 16. Область наблюдений x ∈ [0; 9]; требуется решить 1(x−(2))(x−(6)) < 0. Постройте глобальную схему, затем найдите только допустимые x.

Задание 17. Область наблюдений x ∈ [-7; 0]; требуется решить -1(x−(-3))(x−(4)) ≥ 0. Постройте глобальную схему, затем найдите только допустимые x.

Задание 18. Область наблюдений x ∈ [3; 11]; требуется решить 1(x−(5))(x−(9)) ≤ 0. Постройте глобальную схему, затем найдите только допустимые x.

Ключ с объяснениями

1. Подходит (x−(-5))(x−(-1)) < 0. Нули x=-5 и x=-1, знак «−» внутри, «+» снаружи; ответ (-5; -1). Концы исключены.

2. Подходит (x−(2))(x−(8)) ≤ 0. Нули x=2 и x=8, знак «−» внутри, «+» снаружи; ответ [2; 8]. Концы включены.

3. Подходит (x−(-3))(x−(4)) < 0. Нули x=-3 и x=4, знак «−» внутри, «+» снаружи; ответ (-3; 4). Концы исключены.

4. Подходит (x−(0))(x−(7)) ≤ 0. Нули x=0 и x=7, знак «−» внутри, «+» снаружи; ответ [0; 7]. Концы включены.

5. Подходит (x−(-8))(x−(-2)) < 0. Нули x=-8 и x=-2, знак «−» внутри, «+» снаружи; ответ (-8; -2). Концы исключены.

6. Подходит (x−(1))(x−(6)) ≤ 0. Нули x=1 и x=6, знак «−» внутри, «+» снаружи; ответ [1; 6]. Концы включены.

7. Старший коэффициент 1. Внутри (1;5) знак −, снаружи знак +. Правильный ответ (1; 5); предложенное решение верно.

8. Старший коэффициент -1. Внутри (-4;2) знак +, снаружи знак −. Правильный ответ (-4; 2); предложенное решение верно.

9. Старший коэффициент 1. Внутри (-6;-2) знак −, снаружи знак +. Правильный ответ [-6; -2]; предложенное решение верно.

10. Старший коэффициент -3. Внутри (0;4) знак +, снаружи знак −. Правильный ответ [0; 4]; предложенное решение верно.

11. Старший коэффициент 2. Внутри (2;9) знак −, снаружи знак +. Правильный ответ [2; 9]; предложенное решение неверно.

12. Старший коэффициент -1. Внутри (-3;6) знак +, снаружи знак −. Правильный ответ [-3; 6]; предложенное решение верно.

13. На всей прямой ответ (1; 7). После пересечения с [-2;5] остаётся (1; 5]. Концы области наблюдений включаются только тогда, когда удовлетворяют неравенству.

14. На всей прямой ответ [-3; 5]. После пересечения с [1;8] остаётся [1; 5]. Концы области наблюдений включаются только тогда, когда удовлетворяют неравенству.

15. На всей прямой ответ (-1; 6). После пересечения с [-4;4] остаётся (-1; 4]. Концы области наблюдений включаются только тогда, когда удовлетворяют неравенству.

16. На всей прямой ответ (2; 6). После пересечения с [0;9] остаётся (2; 6). Концы области наблюдений включаются только тогда, когда удовлетворяют неравенству.

17. На всей прямой ответ [-3; 4]. После пересечения с [-7;0] остаётся [-3; 0]. Концы области наблюдений включаются только тогда, когда удовлетворяют неравенству.

18. На всей прямой ответ [5; 9]. После пересечения с [3;11] остаётся [5; 9]. Концы области наблюдений включаются только тогда, когда удовлетворяют неравенству.

Контроль ошибок и метод исправления

При восстановлении трёхчлена по конечному промежутку нельзя по одной длине отрезка вычислить старший коэффициент: умножение на любое положительное число сохраняет знаковую схему. Например, (x−2)(x−7)<0 и 5(x−2)(x−7)<0 имеют один ответ. Умножение на отрицательное число обращает знаки, если само неравенство не перевернуть.

Нельзя заменять [l;r] на (l;r) из привычки: нули должны входить при знаках ≥ или ≤. Наоборот, если знак строгий, нулевая точка исключается, даже когда она лежит внутри ограниченной области. Всегда отдельно решайте глобальное неравенство и отдельно пересекайте ответ с заданным конечным диапазоном.

Особая проверка: если корни совпадают, внутренний открытый промежуток между двумя разными границами вообще не существует. Если корней нет, постоянный знак параболы также не создаёт отдельного конечного интервала решения на всей ℝ. Ограниченный ответ в такой задаче может появиться только из дополнительной области допустимых аргументов.

Самооценка маршрута: в заданиях 1–6 достаточно конструкции и знаковой схемы; в заданиях 7–12 оценивается умение найти ошибку; в заданиях 13–18 — точное пересечение множеств. За каждый пункт поставьте по 1 баллу за верный знак и по 1 за корректные границы, максимум 36. Повторите те пункты, где из-за неправильной скобки меняется принадлежность граничной точки.