Практикум по математике: линейные уравнения с дробными коэффициентами — 7 класс

Линейные уравнения с дробными коэффициентами удобно решать без громоздких вычислений, если сначала убрать знаменатели. В этом практикуме дробь обозначает точную часть целого, а знак «/» — дробную черту. Например, 3/4·x читается «три четверти икс». Знаменатели здесь — обычные ненулевые числа, а не выражения с неизвестным.

Схема: равносильное умножение

Если обе части уравнения умножить на одно и то же ненулевое число, множество корней не изменится. Поэтому в записи 1/2·x + 1/3 = 5/6 можно умножить все члены на 6 и получить 3x + 2 = 5, откуда x = 1. Умножаем именно каждое слагаемое, а не только дробь перед x.

Для знаменателей 4, 6 и 12 наименьшее общее кратное равно 12: при умножении на 12 дробные части исчезают. Если же перед скобкой стоит дробь, можно сначала умножить обе части на знаменатель, а уже потом раскрывать скобку. Такой порядок обычно короче.

Исследование перед практикой

Сравните два пути: (а) сначала перенести свободный член, затем разделить на коэффициент; (б) сразу умножить обе части на общий знаменатель. Оба метода верны, если не делить на ноль. Попробуйте объяснить, почему способ (б) особенно удобен, когда в уравнении несколько разных знаменателей.

Задания I — один дробный коэффициент

Решите уравнения. Перед каждым поставьте в черновике число, на которое удобно умножить обе части, чтобы убрать дробь.

1. 1/2 · x + 3 = 7
2. 2/3 · x − 4 = 6
3. 3/4 · x + 5 = 14
4. 5/6 · x − 1 = 9
5. 7/8 · x + 2 = 9
6. 3/5 · x + 6 = 0
7. −2/7 · x + 4 = 0
8. 5/9 · x − 3 = 2

Задания II — знаменатели у нескольких слагаемых

Для № 9–12 выпишите общий знаменатель коэффициентов и свободных членов. После умножения у вас должно получиться уравнение с целыми коэффициентами.

9. 1/3 · x + 1/2 = 5/2
10. 3/4 · x − 2/3 = 7/12
11. 2/5 · x + 3/10 = 11/10
12. 7/12 · x − 1/4 = 3/2

Задания III — скобки, минусы и выбор способа

В № 13 и 14 дробь стоит перед скобкой; в № 15–18 встречаются несколько дробных слагаемых и отрицательные числа. Прежде чем раскрыть скобку, оцените, не проще ли умножить всё уравнение на знаменатель.

13. 2/3 · (x − 3) = 4
14. 3/5 · (x + 5) = 12
15. 1/2 · x + 1/3 = 5/6
16. 5/6 · x − 7/9 = 1/18
17. −3/8 · x + 1/4 = 7/4
18. 4/9 · x − 2/3 = −2

Самостоятельная проверка

После решения любого номера подставьте корень в исходное уравнение. Считайте дроби точно, не переводя их в округлённые десятичные записи: 1/3 — это не просто 0,33. Если подстановка даёт разные значения, вернитесь к шагу умножения на общий знаменатель.

Ответы к 18 уравнениям

1. № 1: x = 8. Подстановка: обе части равны 7.
2. № 2: x = 15. Подстановка: обе части равны 6.
3. № 3: x = 12. Подстановка: обе части равны 14.
4. № 4: x = 12. Подстановка: обе части равны 9.
5. № 5: x = 8. Подстановка: обе части равны 9.
6. № 6: x = −10. Подстановка: обе части равны 0.
7. № 7: x = 14. Подстановка: обе части равны 0.
8. № 8: x = 9. Подстановка: обе части равны 2.
9. № 9: x = 6. Подстановка: обе части равны 5/2.
10. № 10: x = 5/3. Подстановка: обе части равны 7/12.
11. № 11: x = 2. Подстановка: обе части равны 11/10.
12. № 12: x = 3. Подстановка: обе части равны 3/2.
13. № 13: x = 9. Подстановка: обе части равны 4.
14. № 14: x = 15. Подстановка: обе части равны 12.
15. № 15: x = 1. Подстановка: обе части равны 5/6.
16. № 16: x = 1. Подстановка: обе части равны 1/18.
17. № 17: x = −4. Подстановка: обе части равны 7/4.
18. № 18: x = −3. Подстановка: обе части равны −2.

Пояснения к ключевым заданиям

№ 9: 1/3·x + 1/2 = 5/2. Умножение на 6 даёт 2x + 3 = 15; поэтому 2x = 12, x = 6.

№ 10: 3/4·x − 2/3 = 7/12. Умножение на 12 даёт 9x − 8 = 7, то есть 9x = 15 и x = 5/3. Проверка: 3/4 · 5/3 − 2/3 = 5/4 − 8/12 = 7/12.

№ 13: 2/3·(x − 3) = 4. Умножаем на 3: 2(x − 3) = 12; делим на 2 и получаем x − 3 = 6, x = 9.

№ 16: 5/6·x − 7/9 = 1/18. Умножение на 18 даёт 15x − 14 = 1. Получаем x = 1; проверка: 15/18 − 14/18 = 1/18.

Вопросы для обсуждения

Почему нельзя умножать только левую часть равенства? Что будет, если неверно найти НОК знаменателей? Можно ли умножить обе части уравнения на 24 вместо 12, если общий знаменатель 12? Да, можно: получится равносильное уравнение, но числа будут крупнее.

Типичная ошибка — после умножения на знаменатель сохранять дробь только в одном из слагаемых. Исправление: записывайте промежуточную строку полностью и подчёркивайте каждый член уравнения. Для усложнения попросите ученика самостоятельно составить уравнение с дробным коэффициентом, корень которого равен −2, и проверить его.

Проверка рационального корня без округления

Если ответ равен 5/3, нет необходимости переводить его в десятичную дробь 1,666… . Умножение 3/4 на 5/3 удобнее выполнять с сокращением: (3 · 5)/(4 · 3) = 5/4. Это точное значение, а не приближение. Ошибка при округлении может испортить проверку даже правильного корня.

Для учеников, которым трудно работать с обыкновенными дробями, полезно отдельно выписать список знаменателей уравнения и выбрать их наименьшее общее кратное. Например, для 5/6·x − 7/9 = 1/18 выбираем 18: получаем целочисленную запись 15x − 14 = 1. Это короткий путь без потери точности.