Практикум по математике: письменное деление с нулями в частном — 5 класс
Ноль в частном нельзя «потерять»: он сохраняет разряд и делает ответ правильным. В практикуме сначала четыре чужих ошибочных решения, затем восемь упражнений на исправление навыка и шесть контрольных примеров. Порядок необычный: начинаем с анализа ошибок, а не с повторения правила.
Содержание статьи8 разделов
Сначала найдите и исправьте ошибку
Проверьте предложенное равенство умножением. Найдите, на каком месте должен стоять ноль в частном. Не соглашайтесь с ответом лишь потому, что последние цифры похожи.
- 487 296 : 24 = 234 — так написал ученик. Найдите правильное частное, укажите пропущенные нули.
- 432 180 : 36 = 125 — так написал ученик. Найдите правильное частное, укажите пропущенные нули.
- 145 920 : 48 = 340 — так написал ученик. Найдите правильное частное, укажите пропущенные нули.
- 320 256 : 32 = 108 — так написал ученик. Найдите правильное частное, укажите пропущенные нули.
Пошаговый дневник одного деления
| Стадия | Неполное делимое | Цифра частного | Новый остаток |
|---|---|---|---|
| Начало | 48 | 2 | 0 |
| Сносим 7 | 7 | 0 | 7 |
| Сносим 2 | 72 | 3 | 0 |
| Сносим 9 | 9 | 0 | 9 |
| Сносим 6 | 96 | 4 | 0 |
Отдельные строки с нулём здесь принципиальны. Если 7 меньше 24, это не повод остановиться: в делимом ещё есть цифры. Точно так же запись 9 : 24 = 0 нужна, чтобы последняя четвёрка в результате встала на своё место.
Упражнения-аналоги: заполните частное
Во всех восьми примерах есть один или несколько нулей в частном. Отмечайте нулевые разряды карандашом; последнюю проверку делайте умножением.
- № 5. 100 175 : 25 = __________
- № 6. 84 252 : 42 = __________
- № 7. 81 120 : 16 = __________
- № 8. 114 152 : 38 = __________
- № 9. 721 800 : 60 = __________
- № 10. 672 128 : 64 = __________
- № 11. 90 300 : 75 = __________
- № 12. 84 756 : 84 = __________
Контроль: возможен остаток
В последних шести примерах главное — не спутать остаток после завершения деления и временный остаток, который появляется между сносами цифр. Запишите частное, остаток и проверьте, что 0 ≤ остаток < делитель.
- № 13. 81 140 : 27 = ______, остаток ______.
- № 14. 180 282 : 45 = ______, остаток ______.
- № 15. 104 163 : 52 = ______, остаток ______.
- № 16. 81 840 : 81 = ______, остаток ______.
- № 17. 245 704 : 35 = ______, остаток ______.
- № 18. 69 311 : 66 = ______, остаток ______.
Что проговаривать вслух при работе
- «Остаток стал меньше делителя — значит, следующая цифра частного равна нулю, если ещё осталось что сносить».
- «Ноль, поставленный в частное, не уменьшает его количество разрядов».
- «После последней цифры делимого оставшееся число — окончательный остаток; его уже не нужно переносить дальше».
Для ребёнка, у которого часто пропадают нули, полезна дополнительная строка «цифры делимого уже снесены / цифры частного записаны»: она позволяет увидеть пропуск.
Ответы и решения — откройте после выполнения
Ключ к поиску ошибки (№ 1–4)
| № | Неверно | Исправление | Доказательство |
|---|---|---|---|
| 1 | 234 | 20 304 | 24 × 20 304 = 487 296 |
| 2 | 125 | 12 005 | 36 × 12 005 = 432 180 |
| 3 | 340 | 3 040 | 48 × 3 040 = 145 920 |
| 4 | 108 | 10 008 | 32 × 10 008 = 320 256 |
Ключ к самостоятельной части (№ 5–18)
| № | Ответ | Обратная проверка |
|---|---|---|
| 5 | 4 007 | 25 × 4 007 + 0 = 100 175 |
| 6 | 2 006 | 42 × 2 006 + 0 = 84 252 |
| 7 | 5 070 | 16 × 5 070 + 0 = 81 120 |
| 8 | 3 004 | 38 × 3 004 + 0 = 114 152 |
| 9 | 12 030 | 60 × 12 030 + 0 = 721 800 |
| 10 | 10 502 | 64 × 10 502 + 0 = 672 128 |
| 11 | 1 204 | 75 × 1 204 + 0 = 90 300 |
| 12 | 1 009 | 84 × 1 009 + 0 = 84 756 |
| 13 | 3 005 (ост. 5) | 27 × 3 005 + 5 = 81 140 |
| 14 | 4 006 (ост. 12) | 45 × 4 006 + 12 = 180 282 |
| 15 | 2 003 (ост. 7) | 52 × 2 003 + 7 = 104 163 |
| 16 | 1 010 (ост. 30) | 81 × 1 010 + 30 = 81 840 |
| 17 | 7 020 (ост. 4) | 35 × 7 020 + 4 = 245 704 |
| 18 | 1 050 (ост. 11) | 66 × 1 050 + 11 = 69 311 |
Если ученик написал правильные цифры, но в неверных разрядах, сопоставьте именно место каждого нуля, а не только последнюю цифру результата. Для контрольных заданий с остатком полного совпадения при умножении без прибавления остатка не будет — это нормально.
Вариант для учителя: № 1–4 — устный разбор у доски; № 5–12 — работа парами, каждый проверяет умножением два примера соседа; № 13–18 — индивидуальная мини-проверка. Не показывайте блок с ответами до окончания работы.
Разряды частного: почему нули нельзя сокращать
Возьмём 432 180 : 36. Сначала используем первые две цифры 43, откуда в частном появляется 1 и остаётся 7. После сноса 2 имеем 72, откуда получается 2 и остаток 0. Теперь сносим следующую цифру 1: она меньше 36, поэтому следующая цифра частного — 0. Затем сносится 8: число 18 также меньше 36 и снова даёт 0. Наконец, после сноса 0 получаем 180, то есть цифру 5. Полный ответ 12 005. Если записать 125, то произведение 36 × 125 = 4 500 никак не восстановит 432 180.
Другой характерный случай — частное 10 008. Делимое 320 256 при делении на 32 сначала даёт единицу в самом старшем разряде частного. Затем три очередных шага требуют нулей, и только последний даёт восьмёрку. Здесь недостаточно сказать «в ответе есть ноль». Важно понимать, что каждая очередная цифра делимого должна быть обработана и может добавить цифру 0 в частное.
Нуль в конце частного возникает по иной видимой причине: после точного деления предпоследней неполной части сносят последнюю цифру 0, и новая цифра частного оказывается нулевой. Например, если верное частное — 5 070, то его нельзя заменять на 507, даже когда последние два ненулевых разряда удалось вычислить правильно. Умножение на делитель мгновенно обнаружит расхождение.
Ситуация с остатком требует отдельной проверки. Если после последнего сноса осталось число, меньшее делителя, это конечный остаток, а не повод добавить ещё одну цифру частного. Так, 81 140 : 27 = 3 005 с остатком 5: 27 × 3 005 = 81 135, и 81 135 + 5 = 81 140. Следующего разряда делимого нет; продолжать натуральное деление с добавлением десятичных цифр здесь не требуется.
При оценивании удобно разделить ошибки на три группы. Первая — пропущен внутренний ноль, из-за чего результат уменьшился в десять или сто раз. Вторая — лишний ноль, когда ученик добавил новую цифру частного без сноса цифры делимого. Третья — спутан временный остаток с окончательным. Каждая группа требует собственной короткой коррекции, а не нового полного набора однотипных примеров.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.