Практикум по математике: поиск наименьшего числа с неповторяющимися цифрами — 5 класс
5 класс • печатный материал. Фамилия, имя: __________________________ Дата: ________________
Короткий практикум. Во всех заданиях цифры в одном числе не должны повторяться. Условие «трёхзначное» означает, что первая цифра не ноль. В части упражнений цифры можно выбирать из 0–9; в других используйте строго заданный набор.
Содержание статьи4 раздела
Сначала выбери метод
| Подход | Когда подходит | Как устроен |
|---|---|---|
| А — разряды | Нужно минимальное число заданной длины | Старшую цифру делаем как можно меньше, но не нулём. Затем выбираем самые маленькие ещё не использованные цифры. |
| Б — набор | Переставляем конкретные цифры | На первую позицию ставим наименьшую ненулевую из набора; оставшиеся записываем по возрастанию. |
| В — обязательная цифра | Одна из цифр задана дополнительно | Сначала обеспечиваем её присутствие, затем минимизируем число по разрядам, не повторяя цифры. |
Задания 1–14: выбери подход А, Б или В
- Найди наименьшее 2-значное натуральное число, в котором все цифры различны. Подход: ______ Ответ: __________
- Найди наименьшее 3-значное натуральное число, в котором все цифры различны. Подход: ______ Ответ: __________
- Найди наименьшее 4-значное натуральное число, в котором все цифры различны. Подход: ______ Ответ: __________
- Найди наименьшее 5-значное натуральное число, в котором все цифры различны. Подход: ______ Ответ: __________
- Найди наименьшее 6-значное натуральное число, в котором все цифры различны. Подход: ______ Ответ: __________
- Найди наименьшее 7-значное натуральное число, в котором все цифры различны. Подход: ______ Ответ: __________
- Из цифр 0, 2, 5, 8 составь наименьшее число; используй каждую ровно один раз. Подход: ______ Ответ: __________
- Из цифр 4, 0, 9, 1, 7 составь наименьшее число; используй каждую ровно один раз. Подход: ______ Ответ: __________
- Из цифр 0, 1, 5, 7 составь наименьшее число; используй каждую ровно один раз. Подход: ______ Ответ: __________
- Из цифр 6, 4, 0, 2 составь наименьшее число; используй каждую ровно один раз. Подход: ______ Ответ: __________
- Из цифр 1, 0, 3, 9, 5 составь наименьшее число; используй каждую ровно один раз. Подход: ______ Ответ: __________
- Найди наименьшее 4-значное число без повторяющихся цифр, если цифра 7 обязательно должна присутствовать. Подход: ______ Ответ: __________
- Найди наименьшее 5-значное число без повторяющихся цифр, если цифра 9 обязательно должна присутствовать. Подход: ______ Ответ: __________
- Найди наименьшее 6-значное число без повторяющихся цифр, если цифра 8 обязательно должна присутствовать. Подход: ______ Ответ: __________
Сравнение двух рассуждений
Решение ученика 1: «Наименьшее четырёхзначное число с разными цифрами — 0123, ведь 0 самая маленькая цифра». Решение ученика 2: «0123 не четырёхзначное; сначала надо поставить 1, затем 0, затем 2 и 3. Получаем 1023». Верно второе рассуждение. Важно, что речь идёт о десятичной записи без ведущих нулей.
Когда задан набор 0, 2, 5, 8, число 2058 меньше 2508, поскольку первая различающаяся цифра стоит в разряде сотен: 0 меньше 5. Не имеет смысла переставлять сотни и десятки, если десятитысячный разряд уже задан неверно.
Ответы и способы проверки — для учителя и родителя
При печати только ученической части остановитесь перед этим разделом; ключ расположен отдельно и не нужен при самостоятельном выполнении.
| № | Ответ | Почему число минимально |
|---|---|---|
| 1 | 10 | Старшие разряды выбраны минимальными из разрешённых; остальные цифры не повторяются. |
| 2 | 102 | Старшие разряды выбраны минимальными из разрешённых; остальные цифры не повторяются. |
| 3 | 1 023 | Старшие разряды выбраны минимальными из разрешённых; остальные цифры не повторяются. |
| 4 | 10 234 | Старшие разряды выбраны минимальными из разрешённых; остальные цифры не повторяются. |
| 5 | 102 345 | Старшие разряды выбраны минимальными из разрешённых; остальные цифры не повторяются. |
| 6 | 1 023 456 | Старшие разряды выбраны минимальными из разрешённых; остальные цифры не повторяются. |
| 7 | 2 058 | Старшие разряды выбраны минимальными из разрешённых; остальные цифры не повторяются. |
| 8 | 10 479 | Старшие разряды выбраны минимальными из разрешённых; остальные цифры не повторяются. |
| 9 | 1 057 | Старшие разряды выбраны минимальными из разрешённых; остальные цифры не повторяются. |
| 10 | 2 046 | Старшие разряды выбраны минимальными из разрешённых; остальные цифры не повторяются. |
| 11 | 10 359 | Старшие разряды выбраны минимальными из разрешённых; остальные цифры не повторяются. |
| 12 | 1 027 | Старшие разряды выбраны минимальными из разрешённых; остальные цифры не повторяются. |
| 13 | 10 239 | Старшие разряды выбраны минимальными из разрешённых; остальные цифры не повторяются. |
| 14 | 102 348 | Старшие разряды выбраны минимальными из разрешённых; остальные цифры не повторяются. |
Двойная проверка: 1) сравните найденное значение с любым альтернативным числом той же длины при одинаковых условиях; 2) вычеркните повторяющиеся цифры, если они случайно возникли, — такой ответ недопустим. Доказательство минимальности опирается на первую слева различающуюся позицию: меньшая цифра на ней делает всё число меньше независимо от цифр справа.
Если ученик написал 102345 вместо 102348 в задании с обязательной цифрой 8, задача не решена: условие о наличии восьмёрки важнее минимизации. При выборе способа В сначала проверь, что обязательная цифра действительно входит в ответ, а затем сравни с другими допустимыми числами.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.