Практикум по математике: признаки равнобедренного треугольника — 7 класс

Практикум по признакам · 7 класс. На работу 25–35 минут. Имя ученика: ____________________ Дата: ___________

Цель — отделить признак равнобедренности от свойства и научиться отвергать невозможные исходные данные.

Разобранная ловушка: свойство и обратный признак

Представь ABC, где AB = AC. Из равенства боковых сторон следует равенство углов B и C. Но для диагностики важно уметь идти и в обратную сторону: если B = C, то AB = AC. Это признак равнобедренного треугольника по равным углам. Угол A находится между равными сторонами, а BC — основание.

Ошибочное рассуждение: «Два угла по 60°, следовательно, третий может быть любым». Исправление: третий равен 180° − 60° − 60° = 60°, поэтому все стороны равны. Равносторонний — частный случай равнобедренного (по определению «имеет две равные стороны»).

До применения признака проверь, что стороны и углы действительно образуют треугольник. Для длин a, b, c нужны строгие неравенства: a + b > c, a + c > b, b + c > a. Равенство суммы двух сторон третьей не годится.

Как отличать необходимое от достаточного

В геометрии часто встречаются два направления рассуждения. В одном мы уже знаем, что треугольник равнобедренный, и доказываем равенство углов при основании. В другом нам сообщают два равных угла, и мы делаем вывод о равенстве противолежащих сторон. Именно второе направление называется признаком. Путаница начинается, когда ученик пытается из равенства двух отрезков, не относящихся к боковым сторонам, сразу заключить, что весь треугольник равнобедренный.

Например, для ABC верно: если B = C, то AB = AC. Важно посмотреть, какая сторона находится напротив каждого угла: напротив B лежит AC, а напротив C — AB. Такой анализ позволяет не спутать основание с боковой стороной, даже если треугольник нарисован вершиной вниз или набок.

Другой случай — треугольник со сторонами 5, 5 и 11. Формально в списке две длины совпадают. Но фигуру построить нельзя: сумма равных сторон 10 меньше 11. Прежде чем применять классификацию, стоит удостовериться в существовании фигуры. Если третья сторона равна ровно 10, ситуация тоже не подходит: стороны не образуют ненулевого угла между собой.

Протокол исправления ошибочного решения

Шаг 1. Подчеркни, что дано: равенство сторон, равенство углов или только похожий рисунок. Рисунок без отметок сам по себе не считается доказательством. На глаз две стороны могут выглядеть равными, но это не исходное условие.

Шаг 2. Назови точное правило, а не просто слово «равнобедренный». Если равны углы B и C, равны противолежащие стороны AC и AB. Если равны стороны AB и BC, равны противоположные углы C и A. Эти соответствия меняются вместе с буквами, поэтому автоматическое правило «всегда B = C» применять нельзя.

Шаг 3. Отдели геометрический вывод от вычислений. Даже при верном применении признака ответ может оказаться ошибочным из-за арифметики: например, при вершине 46° каждый угол основания равен 67°, а не 46°. Проверь сумму: 46 + 67 + 67 = 180.

Шаг 4. Проверь допустимость данных. В углах сумма должна быть 180°, в сторонах — строгое неравенство треугольника. Если условия противоречат этому, вывод не «треугольник разносторонний», а «такого треугольника не существует».

Для ученика полезно переписать неправильное утверждение в правильной форме. Вместо «углы 65°, 65°, 55° задают равнобедренный треугольник» следует ответить: «это невозможный набор углов: сумма равна 185°». Такое исправление показывает понимание признака лучше, чем короткий ответ «неверно».

Практический ориентир для проверки учителем

Ошибки в заданиях 1–6 обычно связаны с чтением условий и расположением основания; в 7–10 — с формулировкой признака; в 11–15 — с ограничениями задачи; в 16–22 — с переносом правила в вычисления. Если ошибки сосредоточены в одной группе, полезнее дать повторное объяснение этого шага, чем заставлять выполнять весь лист заново. При устном опросе попросите назвать стороны, противолежащие двум равным углам, до любых расчётов.

Лист ученика: найди и исправь ловушки

Ступень 1. Узнай признак или ошибку (1–10)

1. У треугольника стороны 5, 5 и 8 см. Равнобедренный ли он? Назови основание.
2. Углы треугольника 50°, 50°, 80°. Достаточно ли данных, чтобы доказать равнобедренность?
3. Углы 40°, 60°, 80°. Можно ли считать треугольник равнобедренным?
4. Углы 70°, 40°, 70°. Где вершина между равными сторонами?
5. AB = BC = 4 см, AC = 6 см. Назови основание.
6. Стороны 6, 7 и 8 см. Есть ли пара равных сторон?
7. Исправь: «Если два угла равны, то все три угла равны».
8. Исправь: «В ABC при AB = AC основание — сторона AB».
9. Верно ли: из ∠B = ∠C следует AB = AC?
10. Стороны 4, 4 и 9 см. Можно ли построить такой треугольник?

Ступень 2. Проверь углы и стороны (11–15)

11. Углы A = 50°, B = 65°, C = 65°. Равнобедренный ли треугольник и какие стороны равны?
12. Углы A = 100°, B = 40°, C = 40°. Выбери вершину при равных сторонах.
13. Углы A = 90°, B = 45°, C = 45°. Может ли равнобедренный треугольник быть прямоугольным?
14. Углы A = B = C = 60°. Является ли треугольник равнобедренным?
15. Кто ошибся: ученик записал углы 65°, 65° и 55° и назвал фигуру равнобедренной. Укажи причину.

Ступень 3. Чистовая карточка (16–22)

16. В ABC известно AB = AC и ∠B = 52°. Найди угол A.
17. В ABC известно AB = AC и ∠A = 46°. Найди углы при основании.
18. AB = AC, ∠B = 3x + 5°, ∠C = 5x − 19°. Найди x и ∠A.
19. AB = AC = 6 см, BC = 10 см. Вычисли периметр.
20. Углы треугольника 20°, 80°, 80°. Назови угол при вершине между равными сторонами.
21. Стороны 4, 4 и 8 см. Объясни, существует ли треугольник.
22. В ABC AB = BC, ∠A = 47°. Найди ∠B и ∠C.

Полный ключ с обоснованиями

Нумерация внутри трёх ступеней начинается заново. В ключе для удобства приведены сквозные номера 1–22.

1. 1. Да. Равные стороны по 5 см, основание — сторона 8 см; 5 + 5 > 8.
2. 2. Да: два равных угла лежат напротив равных сторон. Основание напротив угла 80°.
3. 3. Нет: все три угла различны.
4. 4. Вершина — угол 40°, поскольку равные углы при основании равны 70°.
5. 5. Основание AC = 6 см; боковые стороны AB и BC.
6. 6. Нет, треугольник разносторонний.
7. 7. Два равных угла означают две равные противолежащие стороны, но третий угол может отличаться.
8. 8. Основание — BC, а равные боковые стороны AB и AC.
9. 9. Да, это обратное утверждение к свойству углов при основании.
10. 10. Нет, 4 + 4 < 9; такой треугольник не существует.
11. 11. Да, AB = AC, вершина A = 50°.
12. 12. Вершина A = 100°.
13. 13. Да: B = C = 45°, прямой угол A = 90°.
14. 14. Да, он равносторонний и одновременно имеет как минимум две равные стороны.
15. 15. Сумма 65 + 65 + 55 = 185°, а должна быть 180°: фигуры с такими углами нет.
16. 16. A = 180° − 2 × 52° = 76°.
17. 17. B = C = (180° − 46°) : 2 = 67°.
18. 18. 3x + 5 = 5x − 19 ⇒ x = 12; B = C = 41°, A = 98°.
19. 19. P = 6 + 6 + 10 = 22 см; неравенство 6 + 6 > 10 выполнено.
20. 20. Вершина между равными сторонами — угол 20°.
21. 21. Нет: 4 + 4 = 8, получается вырожденный отрезок, а не треугольник.
22. 22. ∠C = ∠A = 47°, ∠B = 180° − 94° = 86°.

Критерии диагностики

Поставь 1 балл за правильный вывод и 1 балл за необходимое обоснование (равные стороны или противолежащие углы, проверка существования, сумма 180°). Максимум — 44 балла. В заданиях 7–8 обязательно исправь фразу, а не просто ответь «нет».

Разбор результатов: если неверны 2, 9 или 11 — повтори обратный признак; если неверны 10 или 21 — повтори неравенство треугольника; если неверны 16–18 — потренируй вычисление углов. Для чистовой попытки закрой ключ и объясни два выбранных ответа полными предложениями.

Отдельная ловушка связана с равносторонними треугольниками. Иногда ученик утверждает, что слово «равнобедренный» подходит только фигуре с ровно двумя равными сторонами. В школьной геометрии равнобедренным называют треугольник, у которого две стороны равны. Поэтому равносторонний также удовлетворяет этому условию. Однако при решении конкретного задания важно внимательно читать, что спрашивается: «какой треугольник по сторонам?» — тогда наиболее точный ответ «равносторонний».

Как оформить доказательство. Вместо фразы «треугольник равнобедренный, потому что выглядит симметрично» запиши исходное равенство углов и соответствующий вывод о сторонах. Например: «∠A = ∠C, значит, противолежащие им стороны BC и AB равны. Поэтому основание AC». Указание именно противолежащих сторон делает доказательство проверяемым.

При устной проверке попроси ученика самостоятельно нарисовать пример треугольника с равными углами внизу и затем повернуть лист. Верный вывод о равенстве сторон не зависит от ориентации рисунка. Это простой способ обнаружить ответы, выученные по одному изображению.