Практикум по математике: распознавание полного квадрата трёхчлена — 7 класс

Полный квадрат трёхчлена можно узнать по трём признакам: крайние члены являются квадратами, а средний равен удвоенному произведению выражений, которые возвели в квадрат. Этот практикум учит отличать настоящий квадрат двучлена от похожей трёхчленной записи. Важный вопрос: почему правильные крайние члены ещё не гарантируют нужную формулу?

Быстрый старт: найди основание квадрата

a² + 2ab + b² = (a + b)² и a² − 2ab + b² = (a − b)². Например, x² + 10x + 25 = (x + 5)², потому что 25 = 5², а 10x = 2 · x · 5. А вот x² + 8x + 25 не является квадратом двучлена с целыми коэффициентами в этом разложении: средний член должен был быть 10x или −10x.

Ступень 1. Распознай: да или нет

1. Является ли x² + 12x + 36 полным квадратом? Если да, запиши скобку в квадрате. Если нет, обоснуй.
2. Является ли x² − 14x + 49 полным квадратом? Если да, запиши скобку в квадрате. Если нет, обоснуй.
3. Является ли x² + 10x + 16 полным квадратом? Если да, запиши скобку в квадрате. Если нет, обоснуй.
4. Является ли 4x² + 20x + 25 полным квадратом? Если да, запиши скобку в квадрате. Если нет, обоснуй.
5. Является ли 9x² − 24x + 16 полным квадратом? Если да, запиши скобку в квадрате. Если нет, обоснуй.
6. Является ли x² − 6x + 9 полным квадратом? Если да, запиши скобку в квадрате. Если нет, обоснуй.
7. Является ли 25x² + 10x + 1 полным квадратом? Если да, запиши скобку в квадрате. Если нет, обоснуй.
8. Является ли 4x² − 8x + 9 полным квадратом? Если да, запиши скобку в квадрате. Если нет, обоснуй.
9. Является ли 16x² + 40x + 25 полным квадратом? Если да, запиши скобку в квадрате. Если нет, обоснуй.
10. Является ли x² + 2x + 4 полным квадратом? Если да, запиши скобку в квадрате. Если нет, обоснуй.

Ступень 2. Восстанови пропущенный член

11. Заполни пропуск: x² + □x + 64 = (x + 8)².
12. Заполни пропуск: 9x² − □x + 4 = (3x − 2)².
13. Заполни пропуск: 25x² + □x + 9 = (5x + 3)².
14. Заполни пропуск: x² − □x + 81 = (x − 9)².
15. Заполни пропуск: 4x² + □x + 49 = (2x + 7)².
16. Заполни пропуск: 16x² − □x + 1 = (4x − 1)².

Ступень 3. Исправь неверное разложение

17. Найди ошибку в записи: x² + 16x + 64 = (x + 4)². Исправь скобку.
18. Найди ошибку в записи: 9x² + 12x + 4 = (9x + 2)². Исправь скобку.
19. Найди ошибку в записи: 4x² − 12x + 9 = (2x + 3)². Исправь скобку.
20. Найди ошибку в записи: x² + 6x + 9 = (x + 9)². Исправь скобку.

Ключ с кратким объяснением

1. (x + 6)²
2. (x − 7)²
3. нет: должно быть 8x
4. (2x + 5)²
5. (3x − 4)²
6. (x − 3)²
7. (5x + 1)²
8. нет: для (2x − 3)² средний член −12x
9. (4x + 5)²
10. нет: (x + 2)² имеет средний член 4x
11. Пропуск: 16. Средний член — удвоенное произведение оснований крайних квадратов.
12. Пропуск: 12. Средний член — удвоенное произведение оснований крайних квадратов.
13. Пропуск: 30. Средний член — удвоенное произведение оснований крайних квадратов.
14. Пропуск: 18. Средний член — удвоенное произведение оснований крайних квадратов.
15. Пропуск: 28. Средний член — удвоенное произведение оснований крайних квадратов.
16. Пропуск: 8. Средний член — удвоенное произведение оснований крайних квадратов.
17. Правильно: (x + 8)²; проверь раскрытием скобок.
18. Правильно: (3x + 2)²; проверь раскрытием скобок.
19. Правильно: (2x − 3)²; проверь раскрытием скобок.
20. Правильно: (x + 3)²; проверь раскрытием скобок.

Работа на 20 заданий: 1–10 диагностируют узнавание формы, 11–16 — понимание связи между членами, 17–20 — умение объяснять ошибку. Не стоит считать запись «да» полноценным ответом: пусть ученик укажет хотя бы одно основание квадрата и произведение, дающее средний член. Для контроля используйте обратный ход: раскройте записанную скобку в квадрате и сравните все три члена с исходной записью.

Если ученик ошибается на выражениях с коэффициентом перед x², сравните x² + 6x + 9 и 4x² + 12x + 9. В первом случае основание первого квадрата — x, во втором — 2x. Поэтому средний член определяется не только последним числом, но и коэффициентом при x². Для печати можно использовать первую и вторую ступени как отдельные карточки.

Почему нельзя судить только по крайним членам

У выражений x² + 6x + 9 и x² + 5x + 9 одинаковые первый и последний члены, но лишь первое представляется квадратом (x + 3)². Различие в среднем: коэффициент перед x должен быть ровно 2 · 1 · 3 = 6. Попросите ученика обязательно проверять этот коэффициент, даже когда два крайних квадрата уже найдены. При отрицательном среднем члене изменяется знак внутри скобки, однако последний член остаётся положительным.

Для контроля выполним обратную проверку записи (3x − 4)²: произведение (3x − 4)(3x − 4) равно 9x² − 12x − 12x + 16 = 9x² − 24x + 16. Если при попытке распознавания получилось −12x, значит один из двух одинаковых смешанных членов выпал. Обратите внимание, что сравнивать лучше сразу упрощённые многочлены, не упуская степени переменной.