Практикум по математике: скалярное произведение векторов по координатам — 9 класс

Эта карточка предназначена для девятиклассников, которые уже умеют записывать вектор его двумя координатами. Скалярное произведение — одно число, а не новый вектор. Чтобы вычислить его без рисунка, умножьте первые координаты, затем вторые и сложите результаты. Ниже сначала предложены специально неверные рассуждения; они полезнее обычного ряда примеров, поскольку заставляют объяснять собственные действия.

Образец: что именно нужно перемножать

Для a = (2; −3) и b = (4; 5) получаем a·b = 2·4 + (−3)·5 = 8 − 15 = −7. Нельзя складывать четыре координаты подряд, умножать «крест-накрест» или автоматически отбрасывать знак минус. Если поменять векторы местами, получится тот же результат: b·a = −7. Это хорошая быстрая проверка ответа.

Найди ошибку и исправь: 6 диагностических случаев

У каждой пары векторов дано неверное или необоснованное рассуждение. Найдите точное место ошибки, зачеркните неверное действие и вычислите правильное скалярное произведение. Запишите хотя бы одну промежуточную строку: это позволяет учителю отличить вычислительную ошибку от ошибки в самой формуле.

1. a = (2, 3), b = (4, 1). Ученик предположил, что ответ равен 2 + 3 + 4 + 1 = 10. Верное вычисление: ______.
2. a = (−1, 5), b = (3, 2). Ученик получил 3 + 10 = 13, потеряв знак − при умножении. Верное вычисление: ______.
3. a = (4, −2), b = (1, 6). Ученик заменил скалярное произведение на 4·6 + (−2)·1. Верное вычисление: ______.
4. a = (0, 7), b = (8, −1). Ученик написал 0, так как одна координата равна нулю. Верное вычисление: ______.
5. a = (−3, −4), b = (−2, 5). Ученик перемножил координаты и получил −6 − 20. Верное вычисление: ______.
6. a = (6, 1), b = (2, −3). Ученик решил, что ответ должен быть положительным из-за положительной первой координаты. Верное вычисление: ______.

Аналогичная практика: вычисли самостоятельно

В следующих десяти пунктах подсказок об ошибке больше нет. Записывайте ответы со знаком. В двух примерах произведение равно нулю — это не означает, что один из векторов обязательно нулевой. Оцените заранее знак результата там, где одно из двух произведений координат заметно преобладает по модулю.

7. a = (1, 4), b = (3, 5). Найдите a·b = ______.
8. a = (5, −2), b = (4, 6). Найдите a·b = ______.
9. a = (−2, 7), b = (3, −1). Найдите a·b = ______.
10. a = (8, 0), b = (−5, 9). Найдите a·b = ______.
11. a = (0, −6), b = (0, 2). Найдите a·b = ______.
12. a = (−4, 3), b = (−4, 3). Найдите a·b = ______.
13. a = (7, −3), b = (2, 5). Найдите a·b = ______.
14. a = (−5, −2), b = (3, −4). Найдите a·b = ______.
15. a = (9, 1), b = (1, −9). Найдите a·b = ______.
16. a = (2, 6), b = (−3, 1). Найдите a·b = ______.

Ответы и объяснение проверки

1. 2·(4) + (3)·(1) = 11. Перепутаны координаты или знак; перемножать нужно одноимённые координаты.
2. -1·(3) + (5)·(2) = 7. Перепутаны координаты или знак; перемножать нужно одноимённые координаты.
3. 4·(1) + (-2)·(6) = −8. Перепутаны координаты или знак; перемножать нужно одноимённые координаты.
4. 0·(8) + (7)·(-1) = −7. Перепутаны координаты или знак; перемножать нужно одноимённые координаты.
5. -3·(-2) + (-4)·(5) = −14. Перепутаны координаты или знак; перемножать нужно одноимённые координаты.
6. 6·(2) + (1)·(-3) = 9. Перепутаны координаты или знак; перемножать нужно одноимённые координаты.
7. 1·(3) + (4)·(5) = 23. Результат проверяется перестановкой векторов местами: значение не меняется.
8. 5·(4) + (-2)·(6) = 8. Результат проверяется перестановкой векторов местами: значение не меняется.
9. -2·(3) + (7)·(-1) = −13. Результат проверяется перестановкой векторов местами: значение не меняется.
10. 8·(-5) + (0)·(9) = −40. Результат проверяется перестановкой векторов местами: значение не меняется.
11. 0·(0) + (-6)·(2) = −12. Результат проверяется перестановкой векторов местами: значение не меняется.
12. -4·(-4) + (3)·(3) = 25. Результат проверяется перестановкой векторов местами: значение не меняется.
13. 7·(2) + (-3)·(5) = −1. Результат проверяется перестановкой векторов местами: значение не меняется.
14. -5·(3) + (-2)·(-4) = −7. Результат проверяется перестановкой векторов местами: значение не меняется.
15. 9·(1) + (1)·(-9) = 0. Результат проверяется перестановкой векторов местами: значение не меняется.
16. 2·(-3) + (6)·(1) = 0. Результат проверяется перестановкой векторов местами: значение не меняется.

Самопроверка: для каждого примера отдельно вычислите a₁b₁ и a₂b₂, а затем просуммируйте. Когда итог равен нулю и оба вектора ненулевые, их направления перпендикулярны — это свойство пригодится в следующем разделе геометрии. Если вместо одного числа получилась пара координат, вы использовали другое действие над векторами.

Как провести работу: сначала разберите № 1 вместе, затем оставьте ученику № 2–6 на индивидуальное исправление. Последние десять примеров подходят для короткого контроля. Один балл можно дать за правильно записанную формулу, ещё один — за верный результат. Особое внимание обратите на минусы: неверный знак при умножении отрицательных чисел нельзя исправить лишь перестановкой координат.