Практикум по математике: сравнение двух линейных тарифов по графику — 7 класс

Уровень: 7 класс. Заданий: 12. Здесь не строят график с нуля: нужно сравнить два уже заданных линейных тарифа аренды учебного велосипеда и сделать выбор по изображённым прямым. Суммы условные, x — часы аренды, y — цена в у. е.

Сначала один частный случай

На общем поле показаны две прямые через указанные координаты: тариф П проходит через (0; 50) и (20; 250); тариф Р через (0; 130) и (20; 250). Отрезки на графике продолжены при x ≥ 0. Точки помогают восстановить формулы, но в первых заданиях достаточно читать пересечение и расположение линий.

1. По графику или таблице определите, сколько стоит аренда на 10 часов по П.
2. Сколько стоит аренда на 10 часов по Р?
3. При 10 часах назовите выгодный тариф и сумму экономии.

От примера — к общему алгоритму сравнения

У линейной функции y = kx + b величина b — цена при x = 0; k показывает, на сколько растёт цена за час. Там, где две прямые пересекаются, значения y совпадают. До пересечения одна прямая ниже, после — другая. Сравнивайте значения только для допустимых x ≥ 0.

4. Восстановите формулу цены П по точкам (0; 50) и (20; 250).
5. Восстановите формулу цены Р по точкам (0; 130) и (20; 250).
6. Укажите координаты пересечения двух графиков и объясните смысл обеих координат.
7. Какой тариф выгоднее при аренде на 30 часов? Вычислите разницу в цене.
8. Найдите целое число часов, при котором П и Р неразличимы по цене.
9. Определите, какой тариф выгоднее при времени меньше 20 часов, а какой — больше 20; обоснуйте наклоном прямых.

Самостоятельная диагностическая карточка

Не обращайтесь к таблице до решения: достаточно двух формул, полученных выше. На отдельной строке запишите, что означает ответ, чтобы не перепутать стоимость и количество часов.

10. Рассчитайте обе стоимости при 5 часах и назовите более выгодный тариф.
11. Как изменится разница в стоимости (Р минус П), когда время увеличится с 5 до 15 часов? Запишите обе разницы.
12. Клиент планирует 25 часов аренды. Какова экономия при выборе более выгодного тарифа?

Как оценивать результат без полного пересчёта

Для тарифа П начальная плата ниже на 80 у. е., но каждый час стоит на 4 у. е. больше, чем в Р. Поэтому разница между ценами сокращается ровно на 4 у. е. за час: после 10 часов начальное преимущество П сократилось наполовину, а через 20 часов исчезло полностью. Для следующих часов предпочтительнее Р, и разрыв снова растёт, но уже в пользу Р.

Сравнивайте именно одну и ту же продолжительность аренды. Например, нельзя противопоставлять цену П на 5 часов цене Р на 15 часов. Все точки, по которым выбирают тариф, имеют одинаковую горизонтальную координату x. На графике выгодная цена расположена ниже другой в этом же вертикальном срезе.

Быстрая обратная проверка: при x = 20 выражения 50 + 10x и 130 + 6x оба дают 250. При x = 25 тариф Р должен оказаться ниже, поскольку его почасовая надбавка меньше. Если вычисленная цена Р оказалась выше, перепроверьте арифметику и направление сравнения. Для учителя это короткая диагностика смыслового чтения линейных графиков, а не только умения решать уравнение.

Ключ для учителя и самостоятельной проверки

Ответы находятся после заданий. Для печати только ученической части выделите текст до разделительной линии и распечатайте выделенное.

1. 150 у. е.
2. 190 у. е.
3. П: 150 против 190; экономия 40 у. е.
4. k = (250 − 50)/20 = 10, b = 50 → П: y = 50 + 10x.
5. k = (250 − 130)/20 = 6, b = 130 → Р: y = 130 + 6x.
6. (20; 250): 20 часов и 250 у. е. для каждого тарифа.
7. П = 350, Р = 310; Р выгоднее на 40.
8. 20 часов: 50 + 10x = 130 + 6x → 4x = 80.
9. До 20 часов выгоднее П (меньшая начальная плата); после — Р (меньший рост цены за час).
10. При x = 5: П = 100, Р = 160; выгоднее П на 60.
11. При x = 5 разность Р − П = 60; при x = 15: (130 + 90) − (50 + 150) = 20; разница уменьшилась на 40.
12. При x = 25: П = 300, Р = 280; экономия 20 у. е.

Критерий самопроверки: точка пересечения обязана удовлетворять обеим формулам; экономия не может быть отрицательной. Тариф здесь линейный без округления времени, специальных пакетов и скрытых сборов. Для школьной модели такие допущения оговорены заранее.