Практикум по математике: сумма конечной геометрической прогрессии — 9 класс

Три независимых варианта по сумме первых n членов геометрической прогрессии. Один можно использовать на уроке, второй — дома, третий — для повторной диагностики. Внутри каждого задания заданы b₁, q и число слагаемых n. Ученик должен отличить сумму Sₙ от отдельного члена bₙ; после нахождения результата желательно сверить его непосредственным сложением первых членов.

Алгоритм без лишних степеней

При q ≠ 1 удобно применять S_n = b₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1). Можно эквивалентно использовать (1 − qⁿ)/(1 − q); важно не смешивать числитель одной формы со знаменателем другой. При q = 1 сумма равна n · b₁, поскольку все слагаемые одинаковы. Формула верна и для отрицательного q, но знаки членов необходимо учитывать.

Вариант А — короткие целочисленные случаи

Прежде чем подставлять, выпишите первые два члена последовательности. Это помогает заметить, что речь идёт о геометрической прогрессии, а не о прибавлении одинаковой разности.

1. Найдите S₅, если b₁ = 2, q = 2.
2. Найдите S₄, если b₁ = 3, q = 3.
3. Найдите S₆, если b₁ = 4, q = 2.
4. Найдите S₄, если b₁ = 5, q = −2.
5. Найдите S₅, если b₁ = 16, q = 1/2.
6. Найдите S₄, если b₁ = 7, q = 1.

Вариант Б — разные знаменатели, в том числе дробные

Учитывайте дробный знаменатель и сокращайте обыкновенные дроби. Уменьшение положительных членов ещё не означает, что сумма равна последнему члену.

1. Найдите S₄, если b₁ = 6, q = 2.
2. Найдите S₅, если b₁ = 2, q = 3.
3. Найдите S₄, если b₁ = 3, q = −3.
4. Найдите S₆, если b₁ = 64, q = 1/2.
5. Найдите S₅, если b₁ = 81, q = 1/3.
6. Найдите S₆, если b₁ = 5, q = 1.

Вариант В — контроль смешанных случаев

В заключительной серии есть три особых типа случаев: рост, чередование знаков и постоянная последовательность. Выберите подходящую формулу самостоятельно.

1. Найдите S₄, если b₁ = 1, q = 4.
2. Найдите S₅, если b₁ = 4, q = −2.
3. Найдите S₅, если b₁ = 12, q = 2.
4. Найдите S₄, если b₁ = 8, q = 1/2.
5. Найдите S₅, если b₁ = 96, q = 1/2.
6. Найдите S₇, если b₁ = 2, q = 1.

Полный ключ для трёх вариантов

Вариант А

1. S₅ = 2 · ((2)⁵ − 1) / (2 − 1) = 62. Проверка: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62.
2. S₄ = 3 · ((3)⁴ − 1) / (3 − 1) = 120. Проверка: 3 + 9 + 27 + 81 = 120.
3. S₆ = 4 · ((2)⁶ − 1) / (2 − 1) = 252. Проверка: 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 252.
4. S₄ = 5 · ((−2)⁴ − 1) / (−2 − 1) = −25. Проверка: 5 + (−10) + 20 + (−40) = −25.
5. S₅ = 16 · ((1/2)⁵ − 1) / (1/2 − 1) = 31. Проверка: 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31.
6. S₄ = 4 · 7 = 28. Проверка: 7 + 7 + 7 + 7 = 28.

Вариант Б

1. S₄ = 6 · ((2)⁴ − 1) / (2 − 1) = 90. Проверка: 6 + 12 + 24 + 48 = 90.
2. S₅ = 2 · ((3)⁵ − 1) / (3 − 1) = 242. Проверка: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242.
3. S₄ = 3 · ((−3)⁴ − 1) / (−3 − 1) = −60. Проверка: 3 + (−9) + 27 + (−81) = −60.
4. S₆ = 64 · ((1/2)⁶ − 1) / (1/2 − 1) = 126. Проверка: 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 126.
5. S₅ = 81 · ((1/3)⁵ − 1) / (1/3 − 1) = 121. Проверка: 81 + 27 + 9 + 3 + 1 = 121.
6. S₆ = 6 · 5 = 30. Проверка: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30.

Вариант В

1. S₄ = 1 · ((4)⁴ − 1) / (4 − 1) = 85. Проверка: 1 + 4 + 16 + 64 = 85.
2. S₅ = 4 · ((−2)⁵ − 1) / (−2 − 1) = 44. Проверка: 4 + (−8) + 16 + (−32) + 64 = 44.
3. S₅ = 12 · ((2)⁵ − 1) / (2 − 1) = 372. Проверка: 12 + 24 + 48 + 96 + 192 = 372.
4. S₄ = 8 · ((1/2)⁴ − 1) / (1/2 − 1) = 15. Проверка: 8 + 4 + 2 + 1 = 15.
5. S₅ = 96 · ((1/2)⁵ − 1) / (1/2 − 1) = 186. Проверка: 96 + 48 + 24 + 12 + 6 = 186.
6. S₇ = 7 · 2 = 14. Проверка: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14.

Проверка работы: 1 балл за правильный выбор формулы, 1 за вычисление степени и дроби, 1 за контрольное сложение, максимум 18 баллов за вариант. Если ответ слишком велик при q = 1, вспомните, что не нужно возводить единицу в степень и делить на ноль: этот случай считается отдельно. Для отрицательного q полезно сначала записать знаки всех слагаемых и только потом вычислять сумму.

Обратите внимание на разницу между суммой и последним членом. Например, если последовательность 2, 4, 8, 16, то b₄ = 16, а S₄ = 30. Эти обозначения нельзя взаимно заменять. Точный объём материала рассчитан на отдельные варианты; учащемуся не требуется выполнять все 18 примеров за один короткий урок.

При проверке варианта с отрицательным знаменателем полезно выполнить две независимые операции: сначала вычислить сумму по формуле, затем сложить несколько первых членов. Если ответы отличаются, проверьте, правильно ли взята степень q: при нечётном n отрицательный q даёт отрицательное qⁿ, а при чётном — положительное. Для знаменателя 1 нельзя применять формулу с делением на q−1, зато сумма находится сразу. Ещё одна частая ошибка — заменить n на n−1 в формуле суммы, перенеся показатель из формулы отдельного члена. Чтобы исключить путаницу, выпишите обе формулы рядом и подпишите, что именно обозначают их левые части.