Практикум по математике: задачи на совпадение расписаний через НОК — 6 класс
Ученик: ______________________________ Дата: ________________
Этот практикум посвящён ситуациям, в которых два или три события повторяются с постоянными периодами. Задача не в том, чтобы разделить интервалы поровну, а в том, чтобы найти первое положительное число минут, кратное каждому периоду. Это наименьшее общее кратное (НОК).
Пример: автобус А приходит каждые 6 минут, автобус Б — каждые 8. Если они отправились вместе, А придёт через 6, 12, 18, 24 минуты; Б — через 8, 16, 24. Следующая общая отметка — 24 минуты. В этом случае НОД(6, 8) = 2 не помогает: через две минуты ни одно расписание не повторится.
Содержание статьи10 разделов
Таблица для наблюдения
| С момента старта | Событие А — каждые 6 мин. | Событие Б — каждые 8 мин. |
|---|---|---|
| 0 мин. | да | да |
| 6 мин. | да | — |
| 8 мин. | — | да |
| 12 мин. | да | — |
| 16 мин. | — | да |
| 18 мин. | да | — |
| 24 мин. | да | да |
В нулевой момент оба сигнала уже совпали. Когда спрашивают про следующее совпадение, отсчёт начинается после общего старта. Если сказано «сколько новых совпадений», не включай первоначальное совпадение в счёт.
Часть I. Найди период совпадения
Составь короткую запись: «периоды — … и …; НОК — …». В каждом случае нужен минимальный положительный интервал, а не любое подходящее кратное.
1. Два световых сигнала повторяются каждые 6 и 8 минут. Сколько минут пройдёт от общего сигнала до следующего совпадения?
2. Два световых сигнала повторяются каждые 9 и 12 минут. Сколько минут пройдёт от общего сигнала до следующего совпадения?
3. Два световых сигнала повторяются каждые 10 и 15 минут. Сколько минут пройдёт от общего сигнала до следующего совпадения?
4. Два световых сигнала повторяются каждые 14 и 21 минут. Сколько минут пройдёт от общего сигнала до следующего совпадения?
5. Два световых сигнала повторяются каждые 8 и 18 минут. Сколько минут пройдёт от общего сигнала до следующего совпадения?
6. Два световых сигнала повторяются каждые 16 и 24 минут. Сколько минут пройдёт от общего сигнала до следующего совпадения?
7. Два световых сигнала повторяются каждые 5 и 12 минут. Сколько минут пройдёт от общего сигнала до следующего совпадения?
8. Два световых сигнала повторяются каждые 12 и 30 минут. Сколько минут пройдёт от общего сигнала до следующего совпадения?
Часть II. Переведи интервал в часы и минуты
Тут нужно сделать два шага: вычислить НОК периодов, затем прибавить столько минут к указанному времени. Например, если старт 09:50, а НОК равен 30, ближайшее совпадение будет в 10:20, а не в 09:80.
9. В 08:10 одновременно отправились два маршрутных сообщения. Одно повторяется каждые 7 минут, другое — каждые 9. В какое ближайшее время они снова совпадут?
10. В 09:15 одновременно отправились два маршрутных сообщения. Одно повторяется каждые 10 минут, другое — каждые 12. В какое ближайшее время они снова совпадут?
11. В 10:05 одновременно отправились два маршрутных сообщения. Одно повторяется каждые 8 минут, другое — каждые 14. В какое ближайшее время они снова совпадут?
12. В 11:20 одновременно отправились два маршрутных сообщения. Одно повторяется каждые 6 минут, другое — каждые 25. В какое ближайшее время они снова совпадут?
13. В 13:00 одновременно отправились два маршрутных сообщения. Одно повторяется каждые 15 минут, другое — каждые 20. В какое ближайшее время они снова совпадут?
14. В 14:35 одновременно отправились два маршрутных сообщения. Одно повторяется каждые 12 минут, другое — каждые 16. В какое ближайшее время они снова совпадут?
15. В 07:45 одновременно отправились два маршрутных сообщения. Одно повторяется каждые 9 минут, другое — каждые 15. В какое ближайшее время они снова совпадут?
16. В 16:10 одновременно отправились два маршрутных сообщения. Одно повторяется каждые 18 минут, другое — каждые 24. В какое ближайшее время они снова совпадут?
Часть III. Три независимых расписания
При трёх периодах удобно сперва найти НОК первых двух, потом НОК полученного результата и третьего периода. Проверка: конечный интервал должен делиться без остатка на каждый из трёх чисел. Если получилось число, которое не делится хотя бы на один период, это не общее совпадение.
17. Три автоматических напоминания стартовали одновременно и повторяются каждые 4, 6, 9 минут соответственно. Через сколько минут появятся все три одновременно?
18. Три автоматических напоминания стартовали одновременно и повторяются каждые 6, 8, 10 минут соответственно. Через сколько минут появятся все три одновременно?
19. Три автоматических напоминания стартовали одновременно и повторяются каждые 5, 7, 14 минут соответственно. Через сколько минут появятся все три одновременно?
20. Три автоматических напоминания стартовали одновременно и повторяются каждые 9, 12, 15 минут соответственно. Через сколько минут появятся все три одновременно?
Часть IV. Исследуй условия задачи
21. Два расписания совпали в 12:00. Первое повторяется каждые 10 минут, второе — каждые 15. Сколько новых совпадений произойдёт к 13:00 включительно, не считая 12:00? Укажи их время.
22. При периодах 12 и 18 минут Илья получил ответ 6 минут, потому что вычислил НОД. Почему это ошибочно? Запиши наименьшее время нового совпадения и два следующих момента после общего старта в 10:00.
Самостоятельный контроль
Для каждого ответа составь таблицу кратных только до найденного момента. Если нашлось меньшее общее кратное, предыдущий ответ не был наименьшим. В задачах со временем дополнительно проверь правильность переноса часа.
Ключ и объяснения — после выполнения заданий
Ключ содержит первые моменты после исходного общего старта. Учитель может предложить ученику объяснить один случай через выписывание кратных, а второй — через разложение на простые множители. Оба способа подходят при верном НОК.
Периоды 1–8
1. НОК(6, 8) = 24 минут: это первое положительное время, которое делится на оба периода.
2. НОК(9, 12) = 36 минут: это первое положительное время, которое делится на оба периода.
3. НОК(10, 15) = 30 минут: это первое положительное время, которое делится на оба периода.
4. НОК(14, 21) = 42 минут: это первое положительное время, которое делится на оба периода.
5. НОК(8, 18) = 72 минут: это первое положительное время, которое делится на оба периода.
6. НОК(16, 24) = 48 минут: это первое положительное время, которое делится на оба периода.
7. НОК(5, 12) = 60 минут: это первое положительное время, которое делится на оба периода.
8. НОК(12, 30) = 60 минут: это первое положительное время, которое делится на оба периода.
Временные отметки 9–16
9. НОК(7, 9) = 63 минут; 08:10 + 63 мин. = 09:13.
10. НОК(10, 12) = 60 минут; 09:15 + 60 мин. = 10:15.
11. НОК(8, 14) = 56 минут; 10:05 + 56 мин. = 11:01.
12. НОК(6, 25) = 150 минут; 11:20 + 150 мин. = 13:50.
13. НОК(15, 20) = 60 минут; 13:00 + 60 мин. = 14:00.
14. НОК(12, 16) = 48 минут; 14:35 + 48 мин. = 15:23.
15. НОК(9, 15) = 45 минут; 07:45 + 45 мин. = 08:30.
16. НОК(18, 24) = 72 минут; 16:10 + 72 мин. = 17:22.
Тройные события и контроль 17–22
17. НОК(4, 6, 9) = 36 минут: момент кратен всем трём периодам.
18. НОК(6, 8, 10) = 120 минут: момент кратен всем трём периодам.
19. НОК(5, 7, 14) = 70 минут: момент кратен всем трём периодам.
20. НОК(9, 12, 15) = 180 минут: момент кратен всем трём периодам.
21. НОК(10, 15) = 30 минут. До 13:00 включительно происходят 2 новых совпадения: в 12:30 и 13:00. Исходные 12:00 не учитываются.
22. Шесть минут не кратны ни 12, ни 18. Требуется НОК(12, 18) = 36 минут. После 10:00 общие моменты — 10:36 и 11:12.
Типичная ошибка — путать «сколько раз» и «через сколько минут». Количество совпадений в заданном интервале определяется отдельно: раздели длительность интервала на период НОК и учитывай, включены ли границы.
Практика для класса. Три ученика могут отбивать такт карандашом через 4, 6 и 8 счётов. Отметьте на бумаге удары каждого и найдите первый общий после старта. Ожидаемый момент — 24-й счёт. Это показывает, почему НОК описывает период совместного повторения.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.