Правило дополнения в комбинаторном подсчёте — тренажёр по математике, 9 класс

Печатный рабочий лист. Правило дополнения удобно, когда условие содержит слова «хотя бы один», «не все», «не менее одного». Вместо прямого разбора многих случаев сначала посчитайте все допустимые объекты, затем объекты, не удовлетворяющие нужному требованию: N(подходящих) = N(всех) − N(противоположных).

Сначала уточняйте: допускаются ли повторения, имеет ли значение порядок, может ли число начинаться с нуля. Например, среди всех трёхбуквенных слов из букв А, Б, В с повторами хотя бы одна буква В встречается в 3³−2³=19 словах. Слова «АВБ» и «БВА» различаются, потому что позиции букв учитываются.

Вариант А

Запишите два промежуточных числа: сколько всего вариантов и сколько вариантов не удовлетворяет условию. Для каждой задачи оставьте место для вычисления: ______________________________.

1. Сколько двузначных кодов из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 без повторений содержат цифру 6?
2. Монету подбрасывают трижды. Сколько последовательностей содержат хотя бы один «орёл»?
3. Код длины 4 составляют из символов 0, 1, 2, повторения разрешены. Сколько кодов содержат хотя бы одну двойку?
4. Из семи участников выбирают неупорядоченную пару. Сколько пар содержит хотя бы одного из двух заранее названных капитанов?
5. Монету подбрасывают четыре раза. Сколько последовательностей имеют не все одинаковые результаты?
6. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют трёхзначные числа без повторений. Сколько чисел содержат цифру 1?
7. В каждом из пяти независимых выборов есть два варианта: Л и П. Сколько цепочек содержат хотя бы один Л?
8. Из 5 учеников группы А и 3 учеников группы Б выбирают тройку без порядка. Сколько троек содержат участников обеих групп?

Вариант Б

Это самостоятельный вариант: в нём другие наборы элементов и ограничения. Отметьте, какой из двух способов подсчёта короче — прямой перебор или вычитание противоположного случая.

1. Из цифр 0–7 составляют двузначное число без повторений. Сколько чисел содержат нуль? Первая цифра не может быть нулём.
2. Монету бросают пять раз. Сколько последовательностей содержит хотя бы одну решку?
3. Трёхбуквенный пароль составляют из A, B, C, D, разрешая повторения. Сколько паролей содержит букву B?
4. Из девяти волонтёров выбирают пару, причём трое — наставники. Сколько пар включает хотя бы одного наставника?
5. Кубик бросают четыре раза. Сколько упорядоченных последовательностей имеет хотя бы одну шестёрку?
6. Сколько трёхзначных чисел из цифр 1–7 без повторений содержат цифру 7?
7. Из 4 девушек и 6 юношей выбирают четверых без порядка. Сколько четвёрок включает хотя бы одну девушку?
8. Запись содержит четыре бита — нули и единицы. Сколько записей имеют не менее двух единиц?

Ответы и разбор

Обратите внимание: при выборе команды порядок не важен (используются сочетания), а при составлении кода порядок важен. Поэтому одинаковая формулировка «хотя бы один» не означает одну и ту же формулу для всего задания.

Критерии оценки

За каждую задачу можно поставить 2 балла: 1 балл за корректный подсчёт всех и противоположных вариантов, 1 за верный итог и учёт порядка/повторов. Максимум — 16 баллов за вариант. Результат 14–16 означает уверенный навык; 10–13 — стоит перепроверить ограничения; при 0–9 полезно заново потренировать полное число исходов.

Проверка ловушки: для Б1 нельзя писать 8·7: первое место не допускает нуль. Для А8 нельзя вычитать только команду из группы А — тройка из одной группы Б также не соответствует условию «обеих групп».

Проверка модели: где правило дополнения неприменимо без уточнений

Если из шести учеников выбирают двух без возвращения, нельзя считать 6²=36 упорядоченных пар: варианты, где один и тот же ученик попал в оба места, здесь невозможны. Всего упорядоченных пар 6·5=30, а неупорядоченных C(6,2)=15. Поэтому перед вычитанием «запрещённого случая» необходимо сначала правильно определить множество всех допустимых исходов. Иначе вычисленная разность будет неверной даже при правильном арифметическом вычитании.

Полезный способ самопроверки: решите небольшую модель прямым перечислением. Например, при двух бросках монеты есть ОО, ОР, РО, РР. Событие «хотя бы один орёл» включает три последовательности, а противоположное событие содержит только РР. Разность 4−1=3 согласуется с перечислением. Затем перенесите этот приём на четыре и пять опытов, когда полный список уже длинный.