Преобразование произведения синусов в сумму: пошаговые задания для 10 класса

Почему при произведении получается разность косинусов

Основная формула: sin A·sin B = [cos(A−B)−cos(A+B)]/2. Она выводится вычитанием формул cos(A−B) и cos(A+B). Важно: сначала косинус РАЗНОСТИ, потом минус косинус СУММЫ — обратный порядок меняет знак результата.

Пограничные случаи

При B=−A произведение равно −sin²A, что видно из [cos2A−1]/2. При B=π−A произведение sin²A даёт [1−cos2A]/2. Эти примеры показывают, что знак нельзя угадывать по внешнему виду углов. Деления на выражение с переменными нет, поэтому у формулы нет дополнительных ограничений ОДЗ.

Уровень I: 8 базовых преобразований

1. sin 3x · sin x
2. sin 5t · sin 2t
3. sin 7a · sin 3a
4. sin 4u · sin u
5. sin 6z · sin 2z
6. sin 8p · sin 5p
7. sin x · sin(−x)
8. sin 2x · sin(−x)

Уровень II: 8 заданий со сложными углами и числами

Для заданий 9–12 сначала вычислите разность и сумму составных углов. Для заданий 13–16 дайте точное значение, не округляя тригонометрические числа.

1. sin(x+y) · sin(x−y)
2. sin(3x+u) · sin(3x−u)
3. sin(2a+b) · sin(2a−b)
4. sin(5m+n) · sin(5m−n)
5. sin 30° · sin 60°
6. sin 45° · sin 45°
7. sin 15° · sin 75°
8. sin 120° · sin 30°

Уровень III: 8 составных задач

Здесь требуется вынести числовой коэффициент, сравнить два произведения или упростить несколько косинусов. Укажите промежуточную формулу.

1. 2 sin 3x sin 2x
2. 4 sin 4t sin t
3. sin z sin(π−z)
4. sin a sin(a+π)
5. sin 2x sin 3x + sin 2x sin x
6. sin(π/6) sin(π/3)
7. 2 sin(u+v)sin(u−v)
8. sin 5x sin 3x − sin 5x sin x

Полный ключ ответов — I уровень

1. 1. (cos 2x−cos 4x)/2
2. 2. (cos 3t−cos 7t)/2
3. 3. (cos 4a−cos 10a)/2
4. 4. (cos 3u−cos 5u)/2
5. 5. (cos 4z−cos 8z)/2
6. 6. (cos 3p−cos 13p)/2
7. 7. (cos 2x−1)/2 = −sin²x
8. 8. (cos 3x−cos x)/2

Полный ключ ответов — II уровень

1. 9. (cos 2y−cos 2x)/2
2. 10. (cos 2u−cos 6x)/2
3. 11. (cos 2b−cos 4a)/2
4. 12. (cos 2n−cos 10m)/2
5. 13. (cos 30°−cos 90°)/2=√3/4
6. 14. (cos 0°−cos 90°)/2=1/2
7. 15. (cos 60°−cos 90°)/2=1/4
8. 16. (cos 90°−cos 150°)/2=√3/4

Полный ключ ответов — III уровень

1. 17. cos x−cos 5x
2. 18. 2cos 3t−2cos 5t
3. 19. (1−cos 2z)/2
4. 20. (cos π−cos(2a+π))/2=(cos 2a−1)/2
5. 21. (cos x−cos 5x+cos x−cos 3x)/2 = cos x−(cos 5x+cos 3x)/2
6. 22. √3/4: (cos(π/6)−cos(π/2))/2
7. 23. cos 2v−cos 2u
8. 24. (cos 2x−cos 8x−cos 4x+cos 6x)/2

Разбор сложных переходов

В №9: (x+y)−(x−y)=2y, (x+y)+(x−y)=2x. Поэтому ответ [cos2y−cos2x]/2. В №17 коэффициент 2 уничтожает двойку в знаменателе тождества. В №21 отдельно примените формулу к sin2x sin3x и sin2x sin x, после чего сложите два результата.

В №24 нельзя вынести общий sin5x и сразу сделать разность косинусов по формуле для разности синусов: цель — преобразовать каждое ПРОИЗВЕДЕНИЕ отдельно. Получаем [cos2x−cos8x]/2 − [cos4x−cos6x]/2, что совпадает с указанным ключом.

Шесть подробных разборов сложных заданий

Разбор №8. Пусть A=2x, B=−x. Тогда A−B=3x, A+B=x. Произведение sin2x·sin(−x) = [cos3x−cos x]/2. Альтернативная проверка: sin(−x)=−sin x; по исходной формуле ответ должен быть минусом результата для sin2x·sin x. Именно так и получается, поскольку косинусы в разности поменялись местами.

Разбор №10. В выражении sin(3x+u)·sin(3x−u) разность аргументов 2u, а сумма 6x. Значит получаем [cos2u−cos6x]/2. Частая ошибка — перепутать общий член 3x и добавочный u и написать в первом косинусе 6x, что меняет значение исходного произведения.

Разбор №15. sin15°·sin75° = [cos(15°−75°)−cos(15°+75°)]/2 = [cos(−60°)−cos90°]/2 = (1/2−0)/2=1/4. Косинус чётен, поэтому cos(−60°)=cos60°. Здесь ответ полностью точный; подстановка десятичных дробей не нужна.

Разбор №17. У выражения 2sin3x sin2x внешний коэффициент 2. В самой формуле возникает делитель 2, значит они сокращаются: cos(3x−2x)−cos(3x+2x)=cosx−cos5x. Не нужно писать дополнительную двойку перед косинусами.

Разбор №19. Для sin z sin(π−z) сначала найдите A−B=2z−π, A+B=π. Формула даст [cos(2z−π)−cosπ]/2=[−cos2z+1]/2. Другой путь: sin(π−z)=sin z, затем sin²z=(1−cos2z)/2. Оба объяснения приводят к одному тождеству.

Разбор №20. Из sin(a+π)=−sin a следует, что произведение равно −sin²a. Через формулу: косинус разности аргументов cos(−π)=−1, косинус суммы cos(2a+π)=−cos2a. Получаем (−1+cos2a)/2. Знаки согласованы: поскольку квадрат синуса неотрицателен, исходное выражение всегда не положительно.

Проверка без калькулятора

Два признака корректности пригодны для всех 24 задач. Первый: каждое произведение sinA sinB лежит в пределах от −1 до 1; поэтому и преобразованное выражение не может дать по модулю больше единицы при фиксированных действительных углах. Второй: при A=B новая форма должна быть [1−cos2A]/2=sin²A. Если ваш знак противоположен, порядок косинусов нарушен.

Для составных выражений с двумя произведениями сначала подпишите A и B к каждому произведению отдельно. Запишите два результата в квадратных скобках, а затем учитывайте сложение или вычитание между ними. Так в №24 последний член +cos6x появляется от вычитания второй скобки, а не от исходного тождества.

Мини-проверка для учеников, завершивших практикум

Проверьте равенство при x=0 для №1, №7 и №17. Во всех трёх случаях исходные произведения содержат sin0 и равны нулю; в ответах разности косинусов тоже нулевые. Для №7 подстановка x=π/2 даёт −1 слева и [cosπ−1]/2=−1 справа. Эти подстановки не заменяют доказательство, но позволяют быстро обнаружить неверный знак.

Не превращайте формулу произведения синусов в формулу произведения косинусов: у cosA cosB стоит плюс между двумя косинусами, у sinA sinB — минус. Сравнивая эти две формулы, полезно запомнить их вывод через cos(A−B) и cos(A+B): сумма двух исходных формул даёт произведение косинусов, разность — произведение синусов.

Критерии

Задания 1–8 оцениваются по 1 баллу, 9–16 — по 2, 17–24 — по 3 (48 баллов всего). В двухбалльных заданиях отдельно оценивайте вычисление аргументов косинусов. В трёхбалльных — верное применение формулы к каждому слагаемому, знаки и итоговую запись. При проверке различайте тождественно равные формы ответа: переставлять слагаемые косинусов разрешено, а менять знак всей разности без основания — нет.