Признаки делимости на 2 5 и 10 в одной карточке для 6 класса — упражнения с решениями

6 класс · диагностика и три уровня. Признаки делимости на 2, на 5 и на 10 помогают определить, можно ли разделить натуральное число на равные группы без остатка. Число, делящееся на 10, всегда делится также на 2 и 5, однако обратное утверждение «делится на 2 — значит делится на 10» неверно.

Сначала проверь себя: короткая диагностика

В заданиях 1–4 выпиши все подходящие делители из набора 2, 5, 10. Один ответ может содержать несколько чисел.

1. Число 12.
2. Число 15.
3. Число 20.
4. Число 18.

Если ошибся больше одного раза, повтори правило: последняя цифра 0, 2, 4, 6, 8 означает делимость на 2; 0 или 5 — на 5; только 0 — на 10. Остальные цифры записи на эти признаки не влияют.

Уровень А. Узнай все признаки сразу

Рядом с каждым числом запиши «2», «5», «10» или несколько подходящих обозначений. Если ни один не подходит, напиши «нет».

5. 34
6. 65
7. 90
8. 107
9. 120
10. 255

Проверь собственную стратегию: числа с последней цифрой 0 сразу попадают во все три группы. Числа с концом 5 подходят только для 5. Чётная последняя цифра, отличная от 0, даёт только 2.

Уровень Б. Восстанови цифру или найди набор

Здесь знак □ означает ровно одну неизвестную цифру. Если вариантов несколько, выпиши все.

11. 46□ делится на 2, но не делится на 5. Какие цифры подходят?
12. 31□ делится на 5, но не на 10. Восстанови последнюю цифру.
13. 5□0 делится на 10. Сколько разных цифр можно записать вместо □?
14. 7□5 должно делиться на 2. Можно ли подобрать цифру?
15. 8 43□ делится одновременно на 2 и на 5. Найди цифру.
16. Выбери все числа, которые делятся на 2, 5 и 10 одновременно: 125, 130, 145, 140.

Уровень В. Объясни решение в реальной задаче

При решении сначала выбери признак, затем при необходимости выполни деление, чтобы узнать число полных групп.

17. 1 250 наклеек раскладывают поровну по 10. Получится ли без остатка? Сколько наборов?
18. 745 жетонов раскладывают по 5. Сколько целых комплектов выйдет?
19. 786 тетрадей раскладывают парами. Есть ли остаток? Сколько пар?
20. Число 9 035 не делится на 10. Делится ли оно при этом на 5? Объясни.
21. Для числа 40 020 отметь подходящие делители из 2, 5, 10. Почему ответ не ограничивается одним делителем?
22. Оцени высказывание: «Если число делится на 10, оно делится и на 2, и на 5». Верно ли это для любого натурального числа?

Ключ учителю: ответы с пояснениями

Диагностика. 1) 12 — только на 2: последняя цифра 2. 2) 15 — только на 5: конец 5. 3) 20 — на 2, 5 и 10: конец 0. 4) 18 — только на 2: последняя цифра 8.

Уровень А. 5) 34 — 2. 6) 65 — 5. 7) 90 — 2, 5, 10. 8) 107 — нет: окончание 7. 9) 120 — 2, 5, 10. 10) 255 — 5. Каждый выбор объясняется единственной последней цифрой; полное деление здесь не нужно.

Уровень Б. 11) 2, 4, 6, 8: 460 не подходит, поскольку делится на 5. 12) Цифра 5, число 315. 13) Десять вариантов: любая цифра от 0 до 9, ведь последняя уже 0. 14) Невозможно: последняя цифра всегда 5, то есть число нечётное. 15) 0: число 8 430. 16) 130 и 140: оба оканчиваются на 0; 125 и 145 подходят для 5, но не для 2 и 10.

Уровень В. 17) Да, 125 наборов: 1 250 : 10 = 125. 18) 149 комплектов: 745 : 5 = 149. 19) Без остатка, 393 пары: 786 : 2 = 393. 20) Да, 9 035 делится на 5: оканчивается на 5. 21) Все три: 2, 5, 10, потому что последняя цифра 0. 22) Да, всегда: число вида 10 × n равно одновременно 2 × (5n) и 5 × (2n).

Как разобрать ошибки по результатам работы

Если ученик постоянно отвечает только «10» для чисел, заканчивающихся нулём, он путает все подходящие признаки с самым крупным делителем. Попросите перечислить группы для числа 30 и проверить: 30 : 2 = 15, 30 : 5 = 6, 30 : 10 = 3. Если ученик ищет цифру 5 в середине записи, верните внимание к последней позиции числа — например, 5 214 не делится на 5.

Работа подходит для проверки в начале урока, а также для индивидуального повторения. Можно распечатать только задания 1–22, оставив ключ отдельно. Для быстрой диагностики достаточно первых четырёх заданий; для более сильных учеников используйте вопросы о невозможности подобрать цифру и о пересечении признаков.

Три ситуации, в которых признаки особенно полезны

Упаковка. Если коробка вмещает десять предметов, прежде чем делить большое число на 10, проверь последнюю цифру. Для числа 745 последний знак — 5: по десять без остатка не получится, а вот группы по пять возможны. Этот вывод не требует ни столбика, ни калькулятора.

Проверка собственного решения. Представь, что ученик записал 786 : 2 = 392. Признак показывает лишь, что остатка не будет, но не подтверждает количество пар. Нужно проверить произведение: 392 × 2 = 784, значит частное ошибочно; правильное 393. Разделяй два вопроса: «делится ли без остатка?» и «сколько групп получится?»

Сравнение признаков. Число 120 одновременно подходит для деления на 2, 5 и 10. А число 125 проходит проверку только для 5. Следовательно, признаки образуют пересекающиеся группы, а не три отдельные корзины. Хороший способ наглядной проверки — записать три деления для 120 и убедиться, что у каждого остаток равен нулю.