Признаки параллельности с цепочкой из трёх прямых: самостоятельная работа по математике, 7 класс

Рассматриваем три различные прямые a, b, c на одной плоскости. Секущая пересекает две прямые в разных точках. Критерии параллельности: равенство соответственных углов, равенство накрест лежащих углов или сумма внутренних односторонних углов 180°. Главная идея цепочки: если a ∥ b и b ∥ c, то a ∥ c. В каждом задании указывается, какие именно углы сравниваются, чтобы чертёж можно было восстановить однозначно.

Граница применимости признаков

• Сравнивайте пару углов одного указанного типа при пересечении прямых одной секущей, а не произвольные два угла.
• Если соответственные углы 51° и 52°, то данные прямые не параллельны: при параллельности они были бы равны.
• Из a ∦ b и b ∦ c нельзя заключить ни a ∥ c, ни a ∦ c. Две прямые могут пересекать третью и при этом быть параллельными между собой.
• Прямые a, b, c считаются различными: запись a ∥ b означает, что они не имеют общей точки.

Уровень I. Узнайте признаки на двух звеньях цепи

1. № 1. У a и b соответственные углы 42° и 42°, у b и c соответственные — 69° и 69°. Докажите a ∥ c.
2. № 2. При секущей t накрест лежащие углы a,b равны 73°. При другой секущей соответствующие углы b,c равны 31°. Сделайте вывод.
3. № 3. Внутренние односторонние углы для a,b равны 101° и 79°, для b,c — 58° и 122°. Параллельны ли a и c?
4. № 4. Для a,b односторонние внутренние углы 87° и 93°, а для b,c накрест лежащие — по 54°. Что следует?
5. № 5. Соответственные углы a,b по 111°, а b,c 111° и 112°. Возможна ли параллельность a и c?
6. № 6. Соответственные углы a,b 56° и 57°, а b,c по 56°. Может ли a ∥ c?
7. № 7. Обе пары a,b и b,c имеют неравные соответственные углы. Можно ли решить, параллельны ли a и c?
8. № 8. Для a,b соответственные углы 68° и 68°; для b,c внутренние односторонние 102° и 78°. Что верно?

Уровень II. Различайте равенство, сумму и противоречие

9. № 9. Накрест лежащие углы для a,b равны 65° и 65°; односторонние для b,c равны 123° и 57°. Докажите цепочку.
10. № 10. Односторонние углы a,b равны 88° и 92°, а соответственные b,c — 38° и 38°. Можно ли признать все три прямые параллельными?
11. № 11. Накрест лежащие углы a,b равны 66° и 67°, а соответственные b,c — по 33°. Выясните отношение a и c.
12. № 12. Соответственные углы a,b равны 49°, а односторонние для b,c — 90° и 89°. Следует ли a ∥ c?
13. № 13. Для a,b соответствующие углы по 70°, а для b,c накрест лежащие по 34°. Какая параллельность установлена?
14. № 14. Для a,b соответствующие углы по 110°; для b,c по 90° при другой секущей. Мешает ли различие 110° и 90°?
15. № 15. Для a,b накрест лежащие углы по 52°; у b,c односторонние 117° и 63°. Найдите основание вывода a ∥ c.
16. № 16. Известно только, что a ∥ b и b ∥ c. Нужен ли третий признак углов для a,c?

Уровень III. Докажите или опровергните

17. № 17. Предположите a ∥ b, b ∥ c, но a пересекает c. Найдите противоречие.
18. № 18. Если a ∥ b и a ∥ c, то обязательно ли b ∥ c? Объясните для трёх различных прямых.
19. № 19. Для a,b накрест лежащие углы по 72°, а для b,c — 35° и 41°. Можно ли a ∥ c?
20. № 20. Известно a ∥ b и прямая c пересекает b. Может ли c быть параллельной a?
21. № 21. Одна секущая пересекает a,b,c. Соответственные углы при a,b по 41° и при b,c по 41°. Какими будут соответственные углы a,c?
22. № 22. Из a ∥ b и b ∥ c ученик заключил, что расстояния между a и b и между a и c равны. Доказано ли это?
23. № 23. При a ∥ b ∥ c одна секущая образует с a внутренний односторонний угол 116° относительно c. Найдите парный угол при c.
24. № 24. В тетради нарисованы a ∥ b и c ∥ b. Ученик пишет «a пересекает c под острым углом». Обнаружьте ошибку.

Подробные решения и аргументы

Уровень I

1. Оба равенства дают a ∥ b и b ∥ c; по транзитивности a ∥ c.
2. a ∥ b и b ∥ c по разным признакам; значит, a ∥ c. Секущие могут быть разными.
3. Да: 101 + 79 = 180 и 58 + 122 = 180; обе пары прямых параллельны.
4. 87 + 93 = 180; 54 = 54. Значит, a ∥ b ∥ c.
5. Нет: a ∥ b, но b ∦ c, поскольку 111° ≠ 112°. Если бы a ∥ c, то из a ∥ b следовало бы b ∥ c — противоречие.
6. Нет: a ∦ b из-за неравных соответственных углов, b ∥ c; если бы a ∥ c, то a ∥ b.
7. Недостаточно данных: a и c могут быть как параллельными, так и пересекающимися.
8. a ∥ b и b ∥ c, так как 102 + 78 = 180; поэтому a ∥ c.

Уровень II

9. 65 = 65 и 123 + 57 = 180. Следовательно, a ∥ b, b ∥ c, a ∥ c.
10. Да: 88 + 92 = 180 и 38 = 38; следовательно, a ∥ b ∥ c.
11. a ∦ b, поскольку 66 ≠ 67; b ∥ c. Следовательно, a ∦ c.
12. Нет. a ∥ b, но b ∦ c, поскольку 90 + 89 = 179°, а не 180°; значит, a ∦ c.
13. a ∥ b и b ∥ c, значит, a ∥ c.
14. Не мешает. Критерии применяются по отдельности к каждой паре: a ∥ b и b ∥ c, значит, a ∥ c.
15. Равенство 52° = 52° доказывает a ∥ b; сумма 117° + 63° = 180° доказывает b ∥ c; затем транзитивность.
16. Нет. Параллельность a ∥ c следует из двух уже доказанных связей через b.

Уровень III

17. Через точку пересечения a и c проходили бы две разные прямые a и c, параллельные b. Это противоречит единственности параллельной прямой через точку.
18. Да. И b, и c параллельны a; если бы они пересекались, через их общую точку проходили бы две параллельные a прямые.
19. Нет: a ∥ b, b ∦ c; при a ∥ c следовала бы b ∥ c, что невозможно.
20. Нет. Иначе c ∥ a и a ∥ b дали бы c ∥ b, вопреки пересечению c и b.
21. Они равны по 41° при той же секущей: из a ∥ b ∥ c и свойства соответственных углов.
22. Нет. Транзитивность устанавливает направление, но не расстояние; c может лежать дальше от a, чем b, либо по другую сторону.
23. 64°: внутренние односторонние углы при параллельных a и c суммируются до 180°; 180 − 116 = 64°.
24. Поскольку a и c обе параллельны b и различны, они параллельны друг другу; пересечение под острым углом невозможно.

Для самопроверки доказательств: недостаточно нарисовать похожие параллельные линии. Для каждого звена a–b и b–c назовите конкретный признак и используйте данные углы; только после этого переходите к a–c. В заданиях с отрицанием параллельности сначала объясните, почему выбранный признак нарушен.

Мини-разбор трёх схем доказательства

Схема «равно — равно». Если при пересечении a и b первой секущей накрест лежащие углы равны, доказано a ∥ b. Если при пересечении b и c второй секущей соответствующие углы равны, получено b ∥ c. Секущие не обязаны быть одной прямой. Заключение a ∥ c следует из свойства параллельных прямых, а не из сравнения чисел, записанных для разных секущих.

Схема «180° — 180°». Для каждой пары ищите именно внутренние односторонние углы при одной секущей: их сумма должна составлять развёрнутый угол. При 96° и 84° первая пара параллельна; при 57° и 123° — вторая. Тогда все три прямые параллельны. Ошибка «углы похожи по рисунку» математическим основанием не является.

Схема с противоречием. Если a ∥ b, но для b и c обнаружены неравные соответственные углы, b ∦ c. Предположение a ∥ c приводит к b ∥ c, поскольку обе прямые b и c оказались бы параллельны a. Получили противоречие; значит, a ∦ c. Этот способ надёжнее нестрогой фразы «третья линия выглядит наклонной».

Если в упражнении недостаточно данных, это тоже полноценный ответ. Например, по a ∦ b и b ∦ c нельзя установить связь между a и c: обе прямые могут пересекать b и одновременно быть параллельными друг другу. Для доказательства не придумывайте недостающие углы и не принимайте случайный набросок за обязательную конфигурацию.