Проекция наклонной на плоскость в прямоугольном треугольнике для 10 класса — упражнения с разбором

Что называется проекцией наклонной

Для точки P вне плоскости α опустите перпендикуляр PH и проведите наклонную PX к точке X плоскости. Ортогональная проекция отрезка PX на плоскость — ОТРЕЗОК HX: точка P переходит в H, точка X остаётся на месте. Поэтому HX=√(PX²−PH²), если PX≥PH и все длины заданы в одних единицах.

Проекция — не сам отрезок PX и не высота PH. Геометрический смысл формулы лучше всего виден из прямоугольного треугольника PHX: гипотенуза PX, катеты PH и HX. Для ненулевой высоты PH и настоящей наклонной длина проекции меньше длины наклонной, но больше нуля.

Шесть ошибок: найдите неверный шаг до чтения решения

Ученик уже записал ответ, но где-то потерял формулу, знак, допустимость или единицу. Объясните, почему ответ не может быть верным. Эта серия не является повторением задач о кратчайшем расстоянии: здесь нужно выделять именно проекцию наклонной.

1. Из PX=29 см и PH=21 см сделали HX=29+21=50 см.
2. При PX=37 см, PH=35 см записали HX=√(37²+35²).
3. PX=41 см, PH=9 см. Получили HX=41−9=32 см.
4. PX=61 см, PH=11 см, утверждают HX=61 см.
5. PX=65 см, PH=33 см. Написали HX=56 м.
6. PX=12 см, PH=15 см. Получили HX=√81=9 см, переставив вычитаемое и уменьшаемое.

Исправления шести решений

1. Неверно сложили катеты вместо квадратов. HX=√(29²−21²)=√400=20 см.
2. Проекция — катет, PX — гипотенуза; нужна разность квадратов. HX=√(1369−1225)=12 см.
3. Это не разность длин: HX=√(41²−9²)=√1600=40 см.
4. Проекция не может совпадать по длине с наклонной при PH>0; HX=√(3721−121)=60 см.
5. Число верно, единица ошибочна: HX=√(4225−1089)=56 СМ, поскольку исходные данные в сантиметрах.
6. Условия невозможны: наклонная PX не может быть короче PH. Нельзя переставлять величины только ради положительного подкоренного выражения.

Самостоятельно: 10 новых упражнений

Выполняйте только после разбора ошибок. Для первого шага выпишите PX²=PH²+HX²; если известны гипотенуза и высота, выразите HX. При несовместимых условиях отметьте невозможность, не извлекайте квадратный корень из отрицательной величины.

1. PX=85 мм, PH=13 мм. Найдите HX.
2. PX=73 см, PH=48 см. Найдите HX.
3. PX=89 дм, PH=39 дм. Найдите HX.
4. PX=97 см, PH=72 см. Найдите HX.
5. PX=101 м, PH=20 м. Найдите HX.
6. PX=10 см, PH=10 см. Укажите длину HX и тип отрезка.
7. PX=53 см, PH=28 см. Ученик написал HX=45 мм. Исправьте единицы.
8. PX=15 м, HX=12 м. Найдите высоту PH, а затем объясните, что является проекцией.
9. Наклонная PX=5 м, а высота PH=300 см. Найдите длину её проекции HX.
10. Даны наклонные PX=17 см, PY=25 см при PH=8 см. Сравните длины проекций HX и HY.

Ключ самостоятельных задач с пояснениями

1. HX=√(85²−13²)=√7056=84 мм.
2. HX=√(5329−2304)=√3025=55 см.
3. HX=√(7921−1521)=80 дм.
4. HX=√(9409−5184)=65 см.
5. HX=√(10201−400)=99 м.
6. HX=0 см. X=H; PX совпадает с перпендикуляром, а не является настоящей наклонной.
7. HX=√(2809−784)=45 см =450 мм. Ответ 45 мм занижен в 10 раз.
8. PH=√(225−144)=9 м. Проекция PX на плоскость α — HX=12 м.
9. PH=3 м; HX=√(25−9)=4 м. Перевели 300 см в метры до возведения в квадрат.
10. HX=√(289−64)=15 см, HY=√(625−64)=√561 см; HY>HX. Проекции различны, обе положительны.

От проекции точек к проекции отрезка

Проекция отрезка определяется проекциями его концов. Точка P расположена над плоскостью и переходит в H по перпендикуляру; точка X уже лежит в плоскости, поэтому остаётся X. Образом наклонной PX становится отрезок HX. В задаче не требуется проецировать каждую промежуточную точку по отдельности: достаточно проекций двух концов, так как ортогональная проекция прямого отрезка также отрезок.

Если PX=PH, то проекция имеет длину ноль — точка X совпадает с H. Это не ошибка в арифметике и не «нулевая наклонная»: отрезок PX в таком случае перпендикулярен плоскости. Если PX<PH, исходные данные несовместимы; нельзя переставлять данные, чтобы под корнем получилось положительное число.

Подробно о трёх видах типовых ошибок

Первый вид — смешение гипотенузы и катета. Когда требуется проекция, её квадрат равен квадрату наклонной минус квадрат высоты. Изменение порядка приводит к неправильному или невозможному ответу. Контроль через PX²=PH²+HX² моментально обнаруживает неверное вычисление.

Второй вид — потеря масштаба единиц. Например, при PX=5 м и PH=300 см необходимо сначала заменить 300 см на 3 м. Тогда HX²=25−9=16 м² и HX=4 м. Если сначала возвести 300 в квадрат как «метры», числовой ответ окажется совершенно бессмысленным. Можно всё перевести в сантиметры, но делать это надо с обеими длинами.

Третий вид — неверная геометрическая интерпретация. Ученик может получить число 12 и указать его для перпендикуляра PH, хотя вычислял проекцию HX. Поэтому в конце решения следует записать название искомого отрезка, а не только число. Длина проекции может изменяться от 0 до почти всей длины наклонной, но при PH>0 строго меньше PX.

Сравнение проекций без вычисления корней

В самостоятельном №10 PH одна и та же для двух наклонных. Их длины 17 и 25 см. Так как HX²=17²−8² и HY²=25²−8², непосредственно видно, что HY²>HX². Поэтому HY>HX ещё до вычисления квадратных корней. Этот приём полезен, когда корень не извлекается и требуется только сравнить отрезки.

Печатная проверка: в заданиях 1–5 результат целый, а в №10 один из ответов иррациональный. Учитель может попросить оставить √561 см, поскольку округление не улучшает математическую точность. Для контроля воспользуйтесь квадратами: (√561)²+8²=561+64=625=25². Невозможно требовать от ученика ровно целого ответа там, где его нет.

Быстрая таблица контроля

Для повторной проверки возведите полученное HX в квадрат и проверьте, что HX²+PH²=PX². Например, в №1: 84²+13²=7056+169=7225=85². В №9 перед проверкой используйте PH=3 м; нельзя складывать м² и см². Отрицательные длины не являются допустимыми ответами.

Оценивание: за каждый анализ неверного решения — по 2 балла (ошибка и исправление), за самостоятельные задания — по 2 балла (метод и ответ); максимум 32 балла. При ссылке на чертёж обязательно помечайте прямой угол в H, иначе можно ошибочно принять PX за один из катетов.