Произведение отрезков пересекающихся хорд: пошаговые задания для 9 класса

Правило, без которого нельзя исправить решение

Две хорды AC и BD пересекаются внутри окружности в точке P. Тогда AP · PC = BP · PD. Обе части равенства измеряются в квадратных единицах длины, например в см². Это не утверждение о равенстве сумм отрезков. Все четыре длины для невырожденного пересечения строго положительны.

Почему работает правило: треугольники APB и DPC подобны по двум углам. Отношение AP/PD = BP/PC; после перемножения получаем AP·PC = BP·PD. Проверьте, какие отрезки принадлежат одной хорде: перемножать надо именно парные части AC и BD.

Шесть ошибочных решений: найдите и исправьте

1. AP = 3 см, PC = 8 см, BP = 4 см. Ученик получил PD = 5 см, потому что ошибочно посчитал 3·8 = 20, а затем разделил 20 на 4. Найдите верное PD.
2. AP = 2 см, PC = 18 см, BP = 6 см. В ответе написано PD = 9 см. Проверяется ли равенство произведений?
3. AP = PC = 7 см, BP = 1 см, PD = 49 см. Ученик назвал конфигурацию невозможной: «половины всех хорд должны быть равны». Верно ли это?
4. AP = 4 см, PC = 9 см, BP = PD = 6 см. Ученик заявил, что данные неверны, поскольку 4 + 9 ≠ 6 + 6. Объясните ошибку.
5. AP = x см, PC = 5 см, BP = 3 см, PD = 10 см. Ученик написал x = 15 см. Найдите x и проверьте произведения.
6. AP = x см, PC = (x + 3) см, BP = 4 см, PD = 10 см. Получены корни x = 5 и x = −8, ученик оставил оба. Почему один корень недопустим?

Исправленные решения

1. PD = 3·8/4 = 6 см; 3·8 = 4·6 = 24 см².
2. PD = 2·18/6 = 6 см, а 6·9 = 54 см² не равно 36 см².
3. Данные возможны: 7·7 = 1·49 = 49 см². Равенство длин половинок разных хорд не требуется.
4. Данные возможны: 4·9 = 6·6 = 36 см². Суммы частей двух хорд могут быть разными: 13 см и 12 см.
5. 5x = 30, поэтому x = 6 см, проверка: 6·5 = 3·10 = 30 см².
6. x(x + 3) = 40 ⇒ x² + 3x − 40 = 0 ⇒ (x − 5)(x + 8) = 0. Допустим только x = 5 см, так как отрицательная длина x = −8 см невозможна.

Самостоятельный тренажёр — 15 заданий

В пунктах 1–10 найдите неизвестный отрезок, а в пунктах 11–15 составьте уравнение. Чертёж для всех заданий один по обозначениям, но числовые данные каждый раз новые. Старайтесь сначала подписывать произведение AP·PC слева, BP·PD справа.

1. AP = 4 см, PC = 6 см, BP = 3 см. Найдите PD.
2. AP = 5 см, PC = 12 см, BP = 10 см. Найдите PD.
3. AP = 6 см, PC = 9 см, BP = 3 см. Найдите PD.
4. AP = 7 см, PC = 8 см, BP = 4 см. Найдите PD.
5. AP = 2 см, PC = 15 см, BP = 5 см. Найдите PD.
6. AP = 9 см, PC = 4 см, BP = 6 см. Найдите PD.
7. AP = 10 см, PC = 3 см, BP = 5 см. Найдите PD.
8. AP = 3 см, PC = 14 см, BP = 7 см. Найдите PD.
9. AP = 6 см, PC = 8 см, BP = 4 см. Найдите PD.
10. AP = 8 см, PC = 12 см, BP = 6 см. Найдите PD.
11. PC = 7 см, BP = 3 см, PD = 14 см. Найдите AP = x.
12. AP = 4 см, PC = x + 1 см, BP = 3 см, PD = 8 см. Найдите x и действительную длину PC.
13. AP = PC = x см, BP = 5 см, PD = 20 см. Найдите x, учитывая, что это длина.
14. AP = x см, PC = x + 2 см, BP = 8 см, PD = 15 см. Найдите положительный корень.
15. AP = x см, PC = x + 5 см, BP = 3 см, PD = 28 см. Найдите x и подтвердите ответ.

Ключ с подстановкой и контролем единиц

1. 1. PD = (4·6)/3 = 8 см; обе стороны 24 см².
2. 2. PD = (5·12)/10 = 6 см; обе стороны 60 см².
3. 3. PD = (6·9)/3 = 18 см; обе стороны 54 см².
4. 4. PD = (7·8)/4 = 14 см; обе стороны 56 см².
5. 5. PD = (2·15)/5 = 6 см; обе стороны 30 см².
6. 6. PD = (9·4)/6 = 6 см; обе стороны 36 см².
7. 7. PD = (10·3)/5 = 6 см; обе стороны 30 см².
8. 8. PD = (3·14)/7 = 6 см; обе стороны 42 см².
9. 9. PD = (6·8)/4 = 12 см; обе стороны 48 см².
10. 10. PD = (8·12)/6 = 16 см; обе стороны 96 см².
11. 11. 7x = 3·14 = 42 ⇒ x = 6 см, 6·7 = 42 см².
12. 12. 4(x + 1) = 3·8 = 24 ⇒ x + 1 = 6 ⇒ x = 5 (число в формуле); PC = 6 см. Условие x + 1 > 0 выполнено.
13. 13. x² = 5·20 = 100 ⇒ x = ±10; так как x обозначает длину, x = 10 см.
14. 14. x² + 2x = 120 ⇒ (x − 10)(x + 12) = 0. Ответ x = 10 см, −12 см недопустимо; 10·12 = 8·15 = 120 см².
15. 15. x² + 5x = 84 ⇒ (x − 7)(x + 12) = 0. Ответ x = 7 см; 7·12 = 3·28 = 84 см².

Как проверять себя без учителя

После получения неизвестной длины подставьте её в оба произведения и сравните числа. Проверьте положительность каждого отрезка и единицы ответа: неизвестный отрезок измеряется в сантиметрах, а произведение двух отрезков — в квадратных сантиметрах. Если два корня квадратного уравнения различаются знаком, отрицательный отбрасывается по смыслу геометрической задачи.