Простейшие доказательства тригонометрических тождеств — задания на закрепление, 10 класс

Ошибочные «доказательства»: разберите ход решения

В доказательстве тригонометрического тождества недостаточно получить привычную формулу: преобразования должны сохранять область определения исходных частей. Записывайте, где выражение имеет смысл. Если одна из сторон содержит дробь или тангенс, ограничения обязательны.

Шесть неверных решений — найдите ошибку

1. «sin²x+cos²x=2, потому что sin²x=1 и cos²x=1».
2. «(1−cos²x)/sin x=sin x при любом x».
3. «(1−cos x)(1+cos x)=1−cos x²».
4. «tg x·cos x=sin x для всех действительных x».
5. «1+tg²x=1/sin²x».
6. «sin 2x=2sin x для каждого x».

Исправления и объяснения

1. 1. Неверно: из основного тождества следует sin²x+cos²x=1; отдельные квадраты не равны 1 для всех x.
2. 2. Равенство верно только при sin x≠0: числитель sin²x, но при sin x=0 исходная левая часть не определена.
3. 3. Правильная разность квадратов — 1−(cos x)²=sin²x. Обозначение cos(x²) здесь недопустимо.
4. 4. Верно только при cos x≠0, потому что tg x не существует при x=π/2+πk.
5. 5. Правильно 1+tg²x=1/cos²x при cos x≠0; следует из (sin²x+cos²x)/cos²x.
6. 6. Правильно sin2x=2sin x cos x. Потерян множитель cos x.

Самостоятельная часть: 10 тождеств для доказательства

Доказывайте равенства только там, где определены обе части. Для каждого задания укажите ограничение, если оно есть. Разрешены формулы двойного угла, основное тождество и чётность/нечётность функций.

1. (1−sin²x)/cos x = cos x
2. (1−cos²x)/(1+cos x)=1−cos x
3. sin²x/(1−cos x)=1+cos x
4. (1+tg²x)cos²x=1
5. tg x/(1+tg²x)=sin x cos x
6. sin(π−x)=sin x
7. cos(−x)=cos x
8. (1−tg²x)cos²x=cos 2x
9. 2sin x cos x = sin2x
10. (1+cos2x)/2=cos²x

Полные решения

1. 1. При cos x≠0: 1−sin²x=cos²x, деление даёт cos x.
2. 2. При cos x≠−1: (1−cos x)(1+cos x)/(1+cos x)=1−cos x.
3. 3. При cos x≠1: sin²x=(1−cos x)(1+cos x), после сокращения получается правая часть.
4. 4. При cos x≠0: 1+tg²x=1/cos²x, сокращение даёт 1.
5. 5. При cos x≠0: tg x=sin x/cos x, 1+tg²x=1/cos²x, деление даёт sin x cos x.
6. 6. По формуле синуса разности: sinπ cos x−cosπ sin x=0−(−1)sin x=sin x.
7. 7. Косинус — чётная функция: cos(−x)=cos x для любого действительного x.
8. 8. При cos x≠0: cos²x−sin²x=cos2x.
9. 9. Это формула синуса двойного угла, действующая для всех действительных x.
10. 10. Из cos2x=2cos²x−1 получаем формулу без ограничений ОДЗ.

Как оформлять доказательство на двух строках

Утверждение «тождество верно» нужно подкрепить переходом. В задании 2 запишите: (1−cos²x)/(1+cos x) = [(1−cos x)(1+cos x)]/(1+cos x) = 1−cos x, где cos x≠−1. Отдельное условие запрещает сокращение на ноль. Если в конце случайно подставить cos x=−1, новая правая часть существует, но исходная левая нет: получилась бы неверная проверка.

В задании 3 подход похожий, но запрещённая точка другая: деление идёт на 1−cos x, поэтому cos x≠1. Эта ситуация встречается при x=2πk. Обратите внимание, что тождественные преобразования сохраняют значения только на исходной общей области определения, а не автоматически во всех точках формулы после сокращения.

Доказательство с тангенсом без ловушки

В задании 5 подставим tg x=sin x/cos x. Получаем [sin x/cos x]/[1+sin²x/cos²x]. Приводим знаменатель к общему знаменателю: (cos²x+sin²x)/cos²x=1/cos²x. Тогда левая часть равна (sin x/cos x)·cos²x=sin x cos x. Во всех переходах важно cos x≠0.

В задании 8 распределите множитель cos²x: (1−tg²x)cos²x = cos²x−tg²x cos²x = cos²x−sin²x. Это и есть cos2x. Если cos x=0, исходное выражение содержит неопределённый тангенс, хотя итоговый cos2x численно существует. Следовательно, формула доказана на своей исходной области, а не безусловно.

Чем доказательство отличается от проверки чисел

Подстановка x=30° и x=60° способна опровергнуть неверное равенство, но два удачных примера не доказывают тождество. Доказательство строится из известного равенства и обратимых допустимых преобразований, применимых к любому x из общей области определения. Поэтому рядом с делением по переменным всегда записывают запреты.

Самопроверка

Критерии: за каждую найденную и исправленную ошибку — 2 балла; за каждое доказательство — по 2 балла: один за преобразование, один за корректную ОДЗ. Всего 32 балла. Ошибкой считается и доказательство, которое незаконно делит на выражение, способное обращаться в ноль.