Простейшие неравенства cos x меньше заданного числа: задания от простого к сложному, 10 класс

Тренажёр устроен как движение от рисунка к общему решению. Косинус x — горизонтальная координата точки единичной окружности; при cos x < c выбираются точки левее вертикали с координатой c. Строгое неравенство запрещает включать точки, где косинус ровно равен порогу.

Проверенная схема решения

1. Сначала сравни c с −1 и 1: у косинуса значения только от −1 до 1.
2. При −1 < c < 1 вычисли β = arccos(c), где 0 < β < π.
3. На окружности выбери левую дугу: β < x < 2π − β на одном обороте.
4. Для всех действительных x добавь 2πk к обеим границам. Для отрезка пересекай полученные интервалы с заданными границами.

Три разобранных примера

Пример 1: положительный порог

Решим cos x < 1/2. Равенство получается при x = π/3 и x = 5π/3 на [0; 2π). На левой дуге косинус меньше 1/2, поэтому ответ (π/3; 5π/3). На R добавляем 2πk к концам. Оба конца исключены.

Пример 2: отрицательный порог

Решим cos x < −√2/2. Равенство достигается в точках 3π/4 и 5π/4. Нужная дуга проходит через π. Ответ на [0; 2π): (3π/4; 5π/4). Проверка: cos π = −1, а −1 < −√2/2.

Пример 3: граничное значение

Решим cos x < 1 на всей прямой. Косинус равен единице при x = 2πk; во всех остальных точках он меньше 1. Ответ: x ∈ R, x ≠ 2πk. Схема с arccos формально даёт границы 0 и 2π, но удобнее сразу назвать исключённые точки.

Задачи с частичными подсказками — уровень I

В заданиях 1–9 ответ ищется на полуинтервале [0; 2π). Запиши интервалы, пустое множество или всю область, если это верно.

1. cos x < 0.
2. cos x < 1/2.
3. cos x < −1/2.
4. cos x < √2/2.
5. cos x < −√2/2.
6. cos x < 1.
7. cos x < −1.
8. cos x < 3/2.
9. cos x < −2.

Подсказки: к № 3 нужны точки 2π/3 и 4π/3; к № 6 выясни, какие углы дают максимум; в № 7 и № 9 решения отсутствуют, но причины слегка различаются.

Уровень II — решения на всей прямой

В № 10–12 k — любое целое; недостаточно записать только одно положение дуги.

10. cos x < 0 на R.
11. cos x < 1/2 на R.
12. cos x < −1/2 на R.

Уровень III — внимательно к концам отрезка

13. cos x < 0 на [−π; π].
14. cos x < 1/2 на [−π; π].
15. cos x < −1/2 на [−π; π].

Пошаговый ключ к уровням I–III

Проверяем спорные ответы

Почему в № 8 ответ включает 0, а в № 6 — нет? Потому что cos 0 = 1: при сравнении с 3/2 это число подходит, при строгом сравнении с 1 — уже нет. Почему в № 13 можно взять обе точки ±π? Это разные точки числовой прямой, обе принадлежат отрезку, и косинус в каждой равен −1. В № 7 пустое множество не означает ошибку вычисления: оно следует из оценки cos x ≥ −1.

Контроль: для любого найденного интервала подставь внутреннюю контрольную точку (часто x=π), а затем каждую границу. Если на границе получилось равенство, скобка должна быть круглой. Для № 13–15 дополнительно проверь принадлежащие области концы −π и π.

Как избежать ошибки на отрицательном отрезке

Косинус — чётная функция: cos(−x)=cos x. Поэтому на симметричном отрезке [−π;π] множество решений cos x<c тоже симметрично относительно нуля. Однако оно может разбиваться на два отрезка: левый около −π и правый около π. В заданиях 13–15 их нельзя механически соединять через ноль, потому что cos 0=1.

Сравни номера 6 и 8: cos x<1 верно всюду, кроме максимума, тогда как cos x<3/2 верно в каждой точке заданной области. Если ответ — вся область, обязательно перенеси её скобки без изменений. Если ответ — область без точки 0, используй открытый край у нуля, как в № 6.

Дополнительное объяснение через число оборотов

Один полный оборот изменяет угол на 2π, но не меняет косинус. Поэтому для № 11 любой k создаёт отдельный интервал: от π/3+2πk до 5π/3+2πk. Если ошибочно прибавить π вместо 2π, то точка x=2π/3+π имеет отрицательный косинус и может подходить, но другие точки ложного промежутка попадут в «ответ». Период косинуса здесь именно 2π.

Задание для объяснения: почему формула β<x<2π−β работает при 0<β<π? Потому что по правую и левую стороны от нулевого направления горизонтальная координата больше c, а на дуге между точками пересечения вертикальной линии x=c с окружностью меньше c. Этим геометрическим доводом обоснована выбранная сторона неравенства.

Контроль на числовой прямой: если c=−1/2 и область [−π;π], при x=−π косинус −1 и условие выполнено; при x=−π/2 косинус 0 и условие не выполнено; при x=0 косинус 1, тоже не подходит. Эти три проверки исключают ошибочные варианты, в которых решение проходит через центр интервала.