Простейшие неравенства sin x больше заданного числа: самостоятельная работа по математике, 10 класс

Рабочий лист для самостоятельной работы. Рисовать окружность можно на черновике: заданное число — высота горизонтальной прямой, а sin x — вертикальная координата точки. Неравенство строгое: граничные углы, где sin x = c, исключаются. k всегда целое.

Правило и место для записи решения

Если −1 < c < 1 и α = arcsin(c), где α лежит от −π/2 до π/2, то sin x > c ⇔ α + 2πk < x < π − α + 2πk. Интервалы повторяются с периодом 2π. При c ≥ 1 решений нет, при c < −1 подходят все действительные x, а при c = −1 нужно исключить только точки минимума синуса.

Вариант А — работай на полуинтервале [0; 2π)

На отдельном листе нарисуй окружность и подчеркни выбранные дуги. Каждая строка — самостоятельное задание; точки 0 включай только если подходят, 2π исключай всегда.

1. sin x > 0; записать ответ как промежутки.
2. sin x > 1/2; записать ответ как промежутки.
3. sin x > −1/2; записать ответ как промежутки.
4. sin x > √2/2; записать ответ как промежутки.
5. sin x > −√2/2; записать ответ как промежутки.
6. sin x > 1; записать ответ как промежутки.
7. sin x > −1; записать ответ как промежутки.
8. sin x > 3/2; записать ответ как промежутки.

Поле для решения: А1 ________ А2 ________ А3 ________ А4 ________ А5 ________ А6 ________ А7 ________ А8 ________.

Вариант Б — решения на всей числовой прямой

Запиши общую формулу решения с k ∈ Z, а не перечисляй два-три числа. Особое внимание обрати на отрицательную высоту и на предельные значения синуса.

1. sin x > 0 на R.
2. sin x > 1/2 на R.
3. sin x > −1/2 на R.
4. sin x > √2/2 на R.
5. sin x > −√2/2 на R.
6. sin x > −1 на R.
7. sin x > 1 на R.
8. sin x > −2 на R.

Поле для решения: Б1 ________ Б2 ________ Б3 ________ Б4 ________ Б5 ________ Б6 ________ Б7 ________ Б8 ________.

Ключ и пояснения: вариант А

Ключ и пояснения: вариант Б

Критерии оценки

За каждое упражнение — 1 балл при верной области и правильных открытых границах. В варианте А максимум 8 баллов, в Б максимум 8. Оценка 8 — отлично, 6–7 — хорошо, 4–5 — повторить дуги окружности, ниже 4 — повторить саму геометрическую интерпретацию синуса. Общий критерий не заменяет оценку каждого варианта.

Проверь себя на пограничном случае: в Б6 нельзя отвечать «все x», потому что при x=3π/2 синус ровно −1, а требуется строго больше. Знак равенства решает, включать ли эту точку.

Разъяснение для самостоятельной проверки

Когда c отрицательно, правильный промежуток на всей прямой часто пересекает ноль. Например sin x>−1/2 верно при x=0 и даже при небольших отрицательных x. Поэтому нельзя ограничивать ответ только углами первого и второго квадрантов; правильные границы −π/6 и 7π/6.

Для варианта А удобно проверять три контрольные точки: 0, π/2 и 3π/2. В точке 0 синус равен нулю; эта точка подходит для отрицательного порога, но не для порога 0. В π/2 значение равно 1 и удовлетворяет всем заданиям, кроме порога 1 и 3/2. В 3π/2 значение −1, поэтому при пороге −1 получается равенство, а не строгое больше.

Для варианта Б не путай запись объединения периодических интервалов с одним бесконечным отрезком. При c=1/2 каждое окно имеет длину 2π/3 и между соседними окнами есть промежутки, на которых неравенство ложно. Для c=−2 ситуация принципиально другая: никаких промежутков, где неравенство ложно, не существует.